Другие представители семьи Бернулли и другие значения перечислены на странице Бернулли (семья). Уравнение Бернулли показывает, что давление жидкости (или газа) больше там, где скорость её течения меньше и наоборот. Бернулли, Даниил - Эта статья о физике и математике Данииле Бернулли. Эти силы и создают давление жидкости. Согласно закону Бернулли, полное давление в установившемся потоке жидкости остается постоянным вдоль этого потока.
Первое и второе слагаемое в интеграле Бернулли имеют смысл кинетической и потенциальной энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости. Из закона Бернулли следует, что при уменьшении сечения потока, из-за возрастания скорости, то есть динамического давления, статическое давление падает. А последовательное применение закона Бернулли привело к появлению технической гидромеханической дисциплины - гидравлики.
Движение жидкости по трубам. Закон Бернулли
Слева на большой объем жидкости между двумя поверхностями действует сила, а справа — (минус, потому что влево). Два указанных пути получения уравнения Бернулли не эквивалентны. Уважаемый посетитель, Вы находитесь на странице, где представлен урок Движение жидкости по трубам.
В данном уроке Вы узнаете как движется жидкость по трубам и в чем заключается закон Бернулли.В этом уроке мы применим закон сохранения энергии к движению жидкости или газа по трубам.
В машинах по трубам поступает масло для смазки, топливо в двигатели и т. д. Движение жидкости по трубам нередко встречается и в природе. В какой-то мере течение воды в реках тоже является разновидностью течения жидкости по трубам. Это значит, что вся та жидкость, которая за время t проходит через первое сечение, за такое же время проходит и через третье сечение, хотя оно по площади значительно меньше, чем первое.
Смотреть что такое «ЗАКОН БЕРНУЛЛИ» в других словарях:
При этом мы считаем, что данная масса жидкости всегда имеет один и тот же объем, что она не может сжаться и уменьшить свой объем (о жидкости говорят, что она несжимаема). Отсюда видно, что при переходе жидкости с участка трубы с большей площадью сечения на участок с меньшей площадью сечения скорость течения увеличивается, т. е. жидкость движется с ускорением. Действительно, если в узких местах трубы увеличивается скорость движения жидкости, то увеличивается и ее кинетическая энергия.
Вот это сжатие жидкости и уменьшается в узких частях трубы, компенсируя рост скорости. И опыт хорошо это подтверждает. Это означает, что в этих местах давление меньше. Такой поток жидкости можно использовать для откачки воздуха.
Дополнительные материалы по теме: Гидродинамика. Уравнение Бернулли для идеальной жидкости.
В узких частях труб, где газ движется быстрее, давление его меньше, чем в широких частях, и может стать меньше атмосферного. Встречный поток воздуха набегает на выпуклую верхнюю поверхность крыла летящего самолета, и за счет этого происходит понижение давления. Движение газа подчиняется закону сохранения механической энергии. Закон Торричелли - Не следует путать с Формула Торричелли. Закон Торричелли, также известный как Теорема Торричелли, – это теорема в гидродинамике, связывающая скорость жидкости, вытекающей через отверстие, с высотой жидкости над отверстием.
Гидродинамика — раздел гидравлики, в котором изучаются законы движения жидкости и ее взаимодействие с неподвижными и подвижными поверхностями. Швейцарский ученый Даниил Бернулли длительное время жил в России, именно к этому времени относится создание его главного научного труда — теории гидромеханики.
До сих пор вы рассматривали движение твердых тел. Сегодня мы перенесем знания законов сохранения на движение жидкостей и газов. Будем рассматривать закон Бернулли на качественном уровне. Делаем вывод: скорость течения жидкости в трубе переменного сечения обратно пропорциональна площади поперечного сечения.
Сила (второй закон Ньютона)). Даниил Бернулли (29.1.1700- 17.3.1782), сын Иоганна Бернулли (брат — Якоб Бернулли) . Занимался физиологией и медициной, но больше всего математикой и механикой. Он показал, что поперечная сила, вызывающая это отклонение, возникает из-за взаимодействия двух потоков воздуха: набегающего на снаряд и вращающегося вместе со снарядом.
Уравнение Бернулли объясняет такое поведение рулона (и закрученного мячика): вращение нарушает симметричность обтекания за счёт эффекта прилипания. Это явление носит название эффекта Магнуса, по имени ученого, открывшего и исследовавшего его экспериментально.
В поперечнике такой столб может достигать сотен метров и несется со скоростью около 100м/с. Опыт 5. «Демон» Бернулли. Таким оно остается и в струе, пока в нее не будет «затянут» окружающий воздух. Благодаря этому Холлу удалось увеличить сцепление колес с дорогой и тем самым значительно повысить скорость автомобиля. Согласно уравнению Бернулли, увеличение скорости потока сопровождается понижением давления.
Магнус в 1852 г доказал, возникающая поперечная сила, действующая на тело, вращающееся в обтекающем его потоке жидкости или газа, направлена в сторону, где скорость потока и вращение тела совпадают. Этим опытом ученый установил: если на вращаемый цилиндр набегает поток воздуха, то скорости потока и вращения по одну сторону цилиндра складываются, по другую же — вычитаются.
Размерность всех слагаемых - единица энергии, приходящаяся на единицу объёма жидкости. Полное давление состоит из весового, статического и динамического давлений. Это является основной причиной эффекта Магнуса. Закон Бернулли можно применить к истечению идеальной несжимаемой жидкости через малое отверстие в боковой стенке или дне широкого сосуда. Отсюда: . Это - формула Торричелли. Иногда это притяжение может создавать угрозу безопасности.
ЗАКОН БЕРНУЛЛИ - один из основных законов гидродинамики, который связывает скорость потока идеальной несжимаемой жидкости и давление при установившемся течении. Бернулли - (Bernoulli) фамилия. Парадоксальность результатов такого поведения тел можно объяснить, используя закон Берннули (уравнение Бернулли). Это неправильное истолкование смысла уравнения Бернулли.
- Изучить законы движения жидкостей и газов на основе закона сохранения энергии, дать определение принципа Бернулли, рассмотреть проявление закона Бернулли в природе и использование в технике и быту.
- Развивать знания, умения, навыки учащихся, способы мышления, физическую речь, память.
- Формировать научное мировоззрение, воспитывать интерес и любознательность учащихся, способность самостоятельно наблюдать явления и делать выводы.
Демонстрации:
- Полоски бумаги.
- Компьютерная модель (диск “Открытая физика”).
- Шарики для тенниса, фен.
- Цилиндр Магнуса.
- Пульверизатор.
- Свеча и воронка.
- Рисунки.
- Актуализация темы.
- Скорость движения жидкости по трубе переменного сечения.
- Давление внутри потока.
- Применение принципа Бернулли в технике, природе, быту.
Лекцию дети фиксируют в тетрадях в таблице, которую мы называем “Ромашкой”. В таблице три столбца: “Известное”, “Новое”, “Специфическое”. Каждый ребенок вносит услышанную информацию в столбец по своему усмотрению, в конце занятия дети обмениваются тетрадями, еще раз прорабатывая материал, вспоминая, что упустил; или выступают с комментариями по просьбе учителя по содержанию одного из столбцов, например, “А мне это было известно…”
До сих пор мы рассматривали движение твердых тел. Знание законов сохранения дает нам возможность познакомиться с основными закономерностями движения жидкостей и газов, которое очень распространено в природе и технике:
- Движется воздух в земной атмосфере;
- Движется вода в океанах и морях, озерах, реках;
- Движется кровь в кровеносных сосудах;
- Движутся питательные соки в капиллярах растений;
- Движутся вода, нефть, газ в трубопроводах.
Но перед тем, как мы приступим к изучению гидроаэродинамики, дадим слово героям Артура Конан Дойла - Шерлоку Холмсу и доктору Ватсону.
(Сценка в исполнении двух мальчиков.) Холмс читает утреннюю “Таймс”, Ватсон перелистывает какой-то фолиант.
В каком банке вы храните свои деньги, Ватсон?
В “Сити-банке”, Холмс, очень надежный банк, уверяю Вас.
Ваш “надежный банк”, Ватсон, вчера был ограблен!
Не может этого быть, ведь там все мои сбережения на свадьбу!
Вот послушайте, что пишет “Лондонская Таймс”: “Пронесшийся вчера над Лондоном ураган выбил все стекла в здании Сити- банка, чем не преминули воспользоваться злоумышленники. Они проникли через разбитые окна в банк и вынесли все деньги. Прибывший на место происшествия инспектор Лестрейд подтвердил это предположение директора банка, так как действительно все окна выбиты, а пол усыпан битым стеклом. Директор банка приносит свои извинения вкладчикам”.
Ватсон: (Обреченно)
Это называется – деньги на ветер!
Дорогой Ватсон, если бы вы изучали физику, вы бы уже знали, у кого ваши деньги!..
Учитель: Холмс, в отличие от Ватсона, изучал законы гидроаэродинамики. Познакомимся с ними и мы.
Пусть жидкость течет без трения по трубе переменного сечения:
Иначе говоря, через все сечения трубы проходят одинаковые объемы жидкости, иначе жидкости пришлось бы либо разорваться где-нибудь, либо сжаться, что невозможно. За время t через сечение S 1 пройдет объем
, а через
сечение S 2 – объем . Но так как эти объемы равны, то
Скорость течения жидкости в трубе переменного сечения обратно пропорциональна площади поперечного сечения. Если площадь поперечного сечения увеличилась в 4 раза, то скорость уменьшилась во столько же раз и наоборот, во сколько раз уменьшилось сечение трубы, во столько же раз увеличилась скорость течения жидкости или газа. Где наблюдается такое явление изменения скорости? Например, на реке, впадающей в море, наблюдается уменьшение скорости, вода из ванны - скорость увеличивается, мы наблюдаем турбулентное течение воды. Если скорость невелика, то жидкость течет как бы разделенная на слои (“ламиниа” – слой). Течение называется ламинарным.
Вывод 1: В широкой части трубы скорость меньше, чем в узкой части во столько раз, во сколько раз площадь поперечного сечения 1 больше 2.
Итак, выяснили, что при течении
жидкости из узкой части в широкую или наоборот,
скорость изменяется, следовательно, жидкость
движется с ускорением. А что является причиной
возникновения ускорения? (Сила (второй закон
Ньютона)). Какая же сила сообщает жидкости
ускорение? Этой силой может быть только разность
сил давления жидкости в широкой и узкой частях
трубы.
К этому выводу впервые пришел академик Петербургской академии наук Даниил Бернулли в 1726 году и закон теперь носит его имя.
Уравнение Бернулли показывает, что давление текущей жидкости или газа больше там, где скорость меньше, и давление меньше там, где скорость течения больше. Этот казалось бы парадоксальный вывод подтверждается прямыми опытами.
Опыт 1.
А) У вас на столах есть листки бумаги. Возьмите один из них за короткую сторону и подуйте вдоль листа. Лист… поднимается вверх. Почему? Потому что в струе воздуха, продуваемом над листом скорость больше, чем под листом, а давление меньше, чем под листом. Эта разность давлений и поднимает лист вверх! Б)Если продувать воздух между двумя листами, то они станут сближаться. Так как давление между листами меньше, чем снаружи, и внешнее избыточное давление сближает листки.
Если взять трубку переменного сечения и присоединить к ней манометрические трубки, то мы увидим, что в узких частях трубки, где скорость больше, давление будет меньше и уровень жидкости в манометре будет невысоким, наоборот, в широкой части трубы, там где скорость мала, давление большое и уровень жидкости в трубке будет больше. (Компьютерная модель)
Опыт 2. Проделаем похожий опыт. Будем продувать с помощью фена воздух между двумя теннисными шарами - что произойдет? (шарики сближаются). Шарики станут сближаться. Если в струю воздуха положить легкий теннисный шарик, то он будет “плясать” в струе, даже если её расположить слегка наклонно. Почему? (Давление в комнате будет велико по отношению к давлению воздуха в струе, и разница давлений будет удерживать шарик в струе.)
Опыт 3. Склеим из тонкой бумаги цилиндр, обвяжем его ленточкой и резко дернув палочку, заставим цилиндр вращаться против часовой стрелки и двигаться вперед. Цилиндр при этом поднимается почти до потолка, а затем плавно опускается на пол. Почему это происходит?
(Цилиндр, вращаясь, движется вперед. При вращении цилиндра в движение приходит и прилежащий к нему слой воздуха. Но под цилиндром вектор скорости воздуха антипараллелен вектору скорости цилиндра, а над цилиндром – сонаправлен с ним. Поэтому результирующая скорость воздуха под цилиндром меньше, чем над ним, следовательно, давление больше, и разность давлений поднимает цилиндр вверх, а не по параболе, как мы привыкли, в механике.)
Это явление носит название эффекта Магнуса , по имени ученого, открывшего и исследовавшего его экспериментально. Эффект Магнуса проявляется в таких природных явлениях, как образование смерчей над поверхностью океана. В месте встречи двух воздушных масс с разными температурами и скоростями возникает вращающийся вокруг вертикальной оси столб воздуха и несется вперед. В поперечнике такой столб может достигать сотен метров и несется со скоростью около 100м/с. Из-за быстрого вращения воздух отбрасывается к периферии вихря и давление внутри него понижается. Когда такой столб приближается к воде, то засасывает ее в себя, представляя огромную опасность для судов. Это же явление знают железнодорожники и предписывают встречным поездам сбрасывать скорость. Зачем? (Дело в том, что перед идущим поездом создается область сжатого воздуха (большое давление), а за другим поездом создается область пониженного давления. При этом, во-первых, могут разбиться стекла в вагонах из-за большой разности давлений, во-вторых, если человек или животное окажется между путями в этот момент, то его может затянуть под поезд, поэтому необходимо помнить правила поведения в таких ситуациях: нужно либо обхватить покрепче опору – столб, например, либо распластаться на земле и сильнее вжаться в нее всем телом, чтобы избежать трагедии.)
Опыт 4. (Обсуждение и рисунок)
В дождливую и ветреную погоду, наверное, каждый из вас замечал, что раскрытые зонтики иногда “выворачиваются наизнанку”. Почему это происходит? Поток воздуха, набегающий на изогнутую поверхность зонта, движется по руслу своеобразной сужающейся трубы с большей скоростью, чем воздух в нижней части, следовательно, давление снизу больше, чем вверху, и зонт выворачивается!
Опыт 5. (Обсуждение) . Аналогичное действие производит на крыши домов сильный ураган. Кстати, по поводу урагана. Так у кого же деньги, мистер Холмс? (Ураган, пронесшийся по улицам Лондона, должен был привести к тому, что стекла в банке выпали бы на улицу, вследствие явления Бернулли. А так как пол в банке был предусмотрительно посыпан стеклом, то, видимо, деньги украл тот, у кого были ключи от банка.)
Спасибо, мистер Холмс.
Предлагаю продолжить ролевую игру. Класс делится на группы по три человека, каждой группе выдается задание с рисунком.
Задание 1. Вы – рабочий на английской шахте по добыче угля. Вас попросили закрыть вентиляционный люк специальным щитом. Вы сначала долго боролись со струей воздуха, которая не давала вам подойти к люку, а затем вдруг внезапно притянула вас с такой силой, что захлопнулась щитом, а вы получили тяжкие травмы. Пользуясь рисунком, объясните, пожалуйста, это странное явление. (Кстати, это после происшествия с вами ученые заинтересовались явлениями в струе жидкости или газа.) (В струе воздуха давление мало, а снаружи давление больше, большая разность давлений “толкнула” рабочего в люк и захлопнула его).
Задание 2. Вы – капитан первого самого
большого корабля в мире “Олимпик”. Осенью 1912
года вы шли в открытом море, а на расстоянии
нескольких метров от вас в том же направлении
следовал броненосный крейсер “Гаук” с очень
большой скоростью. Когда корабли приняли
положение, как показано на рисунке, “Гаук”
неожиданно повернулся носом к “Олимпику”, и, не
слушаясь руля, пошел ему наперерез.
Произошло столкновение. Когда этот случай рассматривали в морском суде, вас обвинили в том, что вы не дали команду пропустить броненосец. В апреле этого же года затонул двойник вашего корабля – “Титаник”, который не сумел избежать столкновения с айсбергом. Как вы думаете, что произошло? (Пока не строились “плавучие города”, явление Бернулли не наблюдалось на море. В данном случае, между движущимися в одном направлении кораблями образовался канал с текущей в обратную сторону водой. А в струе воды давление меньше, чем вокруг, в покоящемся океане. Огромная разность давлений заставила более легкий корабль врезаться в “плавучий город” “Олимпик”.)
Задание 3. Вы – известный автогонщик Джим
Холл. Однажды на гонках вы появились на машине,
которую сами и усовершенствовали. Ваш
“Чапараль” имел в задней части горизонтальное
крыло, плоскость которого была расположена под
углом к горизонту, а также два вентилятора,
которые засасывали воздух из-под днища и гнали
его назад; сбоку автомобиль был закрыт щитками
почти до самой дороги. Вас сначала подняли
насмех, а когда вы выиграли гонку 
с большим отрывом, всех заинтересовало
ваше изобретение. И сейчас машины часто делают с
горизонтальным крылом сзади и с низкой посадкой.
Объясните нам, что это дает?
(Воздух, протекающий в маленький просвет между дорогой и авто, как в сужающуюся трубу, ускоряется, давление под машиной уменьшается по сравнению с давлением воздуха над машиной, что ведет к улучшению сцепления шасси с дорогой, что позволяет не сбрасывать скорость на поворотах. Крыло позади автомобиля, обеспечивает “расширение трубы” для воздуха, обтекающего автомобиль сверху, скорость воздуха уменьшается, давление увеличивается, что также влияет на сцепление шасси с дорогой.)
Задание 4
Вы – известный
исследователь морских глубин Жак Ив Кусто. В 1984
году по вашему заказу было построено судно
Флеттнера (дата изобретения датируется 1925 годом),
на палубе которого установлен вертикально
большой цилиндр с лопастями, приводимый во
вращение вокруг вертикальной оси небольшим
двигателем. Не имея винта, судно может двигаться
по ветру и против ветра. Вы назвали его
“Калипсо”. Объясните, принцип движения вашего
“ветрохода”. (Ветер, огибая вращающиеся
цилиндры, “толкает” их вбок. При
соответствующей ориентации судно начинает
двигаться вперед по воде без паруса.)
Задание 5. Вы – Николай Егорович Жуковский. Вы
разработали теорию подъемной силы крыла
самолета, за что вас В.И. Ленин назвал “отцом
русской авиации”. Расскажите 
нам, пожалуйста, почему несимметричная
форма сечения крыла самолета, подобно крыльям
птиц, позволяет взлетать самолетам? (Из-за
несимметричности формы крыла воздух движется по
его поверхности с разной скоростью, снизу
возникает подъемная сила, равная разности
давлений над и под крылом.)
Задание 6. Вы – известный футболист, вы знаете, что когда подают крученый мяч, т.н. “сухой лист”, то мяч летит по искривленной траектории, как заколдованный облетая футболистов, не знающих законов физики. Объясните, нам, в чем тут дело?
(См. эффект Магнуса.)
Работаем по рисункам, иллюстрирующим явления закона Бернулли. (Яйцо втягивается вверх в струю воды, вентиляционная труба с коническим колпаком, форма нор луговых собачек, окруженная конической насыпью, работа газовой горелки, пульверизатора, карбюратора, ветер под зданием, мошки на стекле движущегося автомобиля.)
А сейчас предлагаю соседям по парте обменяться лекциями и посмотреть, что упущено вами или вашим соседом из сегодняшнего урока.
Итог урока. На уроке мы познакомились с законом движения жидкостей и газов – законом Бернулли, в основу вывода которого положен закон сохранения энергии, поэтому этот закон и явления гидроаэродинамики следует рассматривать как следствие из закона сохранения энергии.
Выставление оценок за работу на уроке.
Спасибо за урок!
Рисунки для закрепления материала.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Литература.
- Н.М. Шахмаев, С.М. Шахмаев, Д.Ш. Шодиев “Физика – 9”
- Дж. Уокер “Физический фейерверк” (вопросы и ответы по физике) – Москва “Мир”, 1989г.
- Перельман “Занимательная физика”
Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости, его физический смысл.
Уравнение Бернулли является следствием закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости:
Здесь — плотность жидкости, — скорость потока, — высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости, — давление в точке пространства, где расположен центр массы рассматриваемого элемента жидкости, — ускорение свободного падения.
В реальных потоках жидкости присутствуют силы вязкого трения. В результате слои жидкости трутся друг об друга в процессе движения. На это трение затрачивается часть энергии потока. По этой причине в процессе движения неизбежны потери энергии. Эта энергия, как и при любом трении, преобразуется в тепловую энергию. Из-за этих потерь энергия потока жидкости по длине потока, и в его направлении постоянно уменьшается.
Из закона Бернулли следует, что при уменьшении сечения потока, из-за возрастания скорости, то есть динамического давления, статическое давление падает. Это является основной причиной эффекта Магнуса. Закон Бернулли справедлив и для ламинарных потоков газа. Закон Бернулли справедлив в чистом виде только для жидкостей, вязкость которых равна нулю. Для описания течений реальных жидкостей в технической гидромеханике (гидравлике) используют интеграл Бернулли с добавлением слагаемых, учитывающих потери на местных и распределенных сопротивлениях.
Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости
Распределение скоростей:
Что такое трубка Пито и для чего она служит?
Трубка Пито - прибор для измерения скорости в точках потока. для измерения динамического напора текущей жидкости или газа. Представляет собой Г-образную трубку. Установившееся в трубке избыточное давление приближённо равно: , где p — плотность движущейся (набегающей) среды; V?- скорость набегающего потока; ξ — коэффициент.
Напорная трубка Пито подключается к специальным приборам и устройствам. Применяется при определении относительной скорости и объёмного расхода в газоходах и вентиляционных системах в комплекте с дифференциальными манометрами.
Применяется как составная часть трубки Прандтля в авиационных приёмниках воздушного давления для возможности одновременного определения скорости и высоты полёта.
Как перевести уравнение Бернулли из размерности длин в размерность давлений?
Уравнение Бернулли в форме напоров, м
Уравнение Бернулли в форме давлений, Па
Потери давления от первого сечения до второго.
Какие существуют режимы течения и как определяются границы существования этих режимов?
1. Ламинарный режим движения. Особенности - слоистый характер течения жидкости, отсутствие перемешивания, неизменность давления и скорости по времени.
2. Переходный режим.
3. Турбулентный режим течения. Заметны: вихреобразование, вращательное движение жидкости, непрерывные пульсации давления и скорости в потоке воды.
1. Ламинарным называется слоистое течение без перемешивания частиц жидкости и без пульсации скорости и давления. При ламинарном течении жидкости в прямой трубе постоянного сечения все линии тока направлены параллельно оси трубы, при этом отсутствуют поперечные перемещения частиц жидкости.
2. Турбулентным называется течение, сопровождающееся интенсивным перемешиванием жидкости с пульсациями скоростей и давлений. Наряду с основным продольным перемещением жидкости наблюдаются поперечные перемещения и вращательные движения отдельных объемов жидкости. 3. Переход от ламинарного режима к турбулентному наблюдается при определенной скорости движения жидкости. Эта скорость называется критической (Vкр=kv/d) .
Значение этой скорости прямо пропорционально кинематической вязкости жидкости v и обратно пропорционально диаметру трубы d .
4. Входящий в эту формулу безразмерный коэффициент k одинаков для всех жидкостей и газов, а также для любых диаметров труб. Этот коэффициент называется критическим числом Рейнольдса Reкр и определяется следующим образом:
Reкр = Vкрd/v = pVкрd/μ ≈ 2300-2320
Как вычисляется число Рейнольдса?
Критерий подобия Рейнольдса (число Рейнольдса) позволяет судить о режиме течения жидкости в трубе. Число (критерий) Рейнольдса Re - мера отношения силы инерции к силе трения
Re = Vd/v = pVd/μ, где μ-динамич.коэф.вязкости, v = μ/p,
При Re < Reкр = 2320 течение является ламинарным;
Re > 3800-4200 течение турбулентное.
Зависимости справедливы только для круглых труб.
При увеличении скорости растут силы инерции . Силы трения при этом больше сил инерции и до некоторых пор выпрямляют траектории струек
При некоторой скорости vкр:
Сила инерции Fи > силы трения Fтр, поток становится турбулентным
Уравнение Бернулли для установившегося движения идеальной жидкости, его физический смысл.
Приведем уравнения Эйлера к виду, удобному для интегрирования, умножив соответственно на dx, dy,
dz и сложив:
Получаем
С учетом, что
-полный дифференциал давления
Окончательное выражение:
Если жидкость находится только под действием силы тяжести и ее плотность неизменна, то
Окончательно
уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости
Уравнение Бернулли для установившегося движения вязкой жидкости.
Распределение скоростей:
1 - элементарная струйка; идеальная жидкость;
2 - реальная (вязкая) жидкость
При движении реальной вязкой жидкости возникают силы трения и вихри, на преодоление которых жидкость затрачивает энергию.
В результате полная удельная энергия жидкости в сечении 1-1 будет больше полной удельной энергии в сечении 2-2 на величину потерянной энергии
Здесь
V 1,2 - средняя скорость потока в сечениях 1,2;
hW1,2 = hпот 1-2 - потерянный напор потери напора между сечениями 1-2;
α1,2 - безразмерный коэффициент Кориолиса - отношение действительной кинетической энергии потока в данном сечении к кинетической энергии потока в том же сечении при равномерном распределении скоростей.
Таким образом, уровень первоначальной энергии, которой обладает жидкость в первом сечении, для второго сечения будет складываться из четырех составляющих: геометрической высоты, пьезометрической высоты, скоростной высоты и потерянного напора между сечениями 1-1 и 2-2
Скорость течения вязкой жидкости в длинной трубке
: v = (ΔP / η) · R 2 / (8 · l)
, где ΔP
— разность давлений на концах трубки, η
— вязкость жидкости или газа (сильно зависит от температуры), R
— внутренний радиус трубки, l
— её длина, l
>> R
.
Коэффициенты Кориолиса . Величина коэффициентов для ламинарного и турбулентного режимов течения.
Коэффициент Кориолиса - отношение действительной кинетической энергии потока в данном сечении к кинетической энергии потока в том же сечении при равномерном распределении скоростей.
Мощность элементарной струйки:
Для потока
Разделив полученное выражение на и учитывая, что (удельная мощность на 1 Н
веса жидкости = средний напор в сечении Нср
) получаем: 
Здесь ? - коэффициент Кориолиса.
При равномерном распределении скоростей α =1 (элементарная струйка/идеальная жидкость),
при неравномерном α>1. V - средняя скорость в живом сечении .
- коэффициент Кориолиса для ламинарного режима.
- коэффициент Кориолиса для турбулентного режима (стремится к 1,0 при увеличении Re)
Рациональный выбор сечений для решения уравнения Бернулли.
Сечения выбираются всегда перпендикулярно направлению движения жидкости и должны располагаться на прямолинейных участках потока
Одно из расчетных сечений необходимо брать там, где нужно определить давление р , высоту z или скорость V , второе, где величины р , z , и V известны
Нумеровать расчетные сечения следует так, чтобы жидкость двигалась от сечения 1-1 к сечению 2-2
Плоскость сравнения 0-0 - любая горизонтальная плоскость. Для удобства её проводят через центр тяжести одного из сечений
Практическое применение уравнения Бернулли: трубка Пито.
Трубка Пито - прибор для измерения скорости в точках потока.
Составив уравнение Бернулли для сечений a-a и b-b , получим
.
Отсюда 
Практическое применение уравнения Бернулли: расходомер Вентури.
а) Пренебрегая потерями напора и считая z1 = z2 , напишем уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2:
б) Из уравнения неразрывности
в) Из уравнения пьезометра
Решая совместно, получаем:
Энергетическое толкование уравнения Бернулли.
Энергетических характеристик жидкости. Суммарной энергетической характеристикой жидкости является её гидродинамический напор.
С физической точки зрения это отношение величины механической энергии к величине веса жидкости, которая этой энергией обладает. Таким образом, гидродинамический напор нужно понимать как энергию единицы веса жидкости. И для идеальной жидкости эта величина постоянна по длине. Таким образом, физический смысл уравнения Бернулли это закон сохранения энергии для движущейся жидкости .
Здесь с энергетической точки зрения (в единицах энергии, Дж/кг) gz — удель-ная потенциальная энергия положения; rР/ — удельная потенциальная энергия давления; gz + rР/ — удельная потенциальная энергия; u 2 /2 — удельная кинети-ческая энергия; и — скорость элементарной струйки идеальной жидкости.
Умножив все члены уравнения на удельный вес жидкости g , получим:
gz - весовое давление, Па; P — гидродинамическое давление, Па; иr 2 /2 — динамическое давление Па; Hg — полное давление, Па
Геометрическое толкование уравнения Бернулли.
Положение любой частицы жидкости относительно некоторой произвольной линии нулевого уровня 0-0 определяется вертикальной координатой Z . Для реальных гидравлических систем это может быть уровень, ниже которого жидкость из данной гидросистемы вытечь не может. Например, уровень пола цеха для станка или уровень подвала дома для домашнего водопровода.
Все слагаемые уравнения Бернулли имеют размерность длины и их можно изобразить графически.
Значения - нивелирную, пьезометрическую и скоростную высоты можно определить для каждого сечения элементарной струйки жидкости. Геометрическое место точек, высоты которых равны , называется пьезометрической линией . Если к этим высотам добавить скоростные высоты, равные , то получится другая линия, которая называется гидродинамической или напорной линией .
Из уравнения Бернулли для струйки невязкой жидкости (и графика) следует, что гидродинамический напор по длине струйки постоянен.
Линия полного напора и ее построение.
Физический смысл уравнения Бернулли.
Из закона Бернулли следует, что при уменьшении сечения потока, из-за возрастания скорости, то есть динамического давления, статическое давление падает. Это является основной причиной эффекта Магнуса. Закон Бернулли справедлив и для ламинарных потоков газа. Явление понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы различного рода расходомеров (например труба Вентури), водо- и пароструйных насосов. А последовательное применение закона Бернулли привело к появлению технической гидромеханической дисциплины — гидравлики.
Закон Бернулли справедлив в чистом виде только для жидкостей, вязкость которых равна нулю, то есть таких жидкостей, которые не прилипают к поверхности трубы. На самом деле экспериментально установлено, что скорость жидкости на поверхности твердого тела почти всегда в точности равна нулю (кроме случаев отрыва струй при некоторых редких условиях).
закон Бернулли объясняет эффект притяжения между телами, находящимися на границе потока движущейся жидкости (газа). Иногда это притяжение может создавать угрозу безопасности. Например, при движении скоростного поезда «Сапсан» (скорость движения более 200 км/час) для людей на платформах возникает опасность сброса под поезд.Аналогично «затягивающая сила» возникает при движении судов параллельным курсом: например, подобные инциденты происходили с лайнером «Олимпик».
Влияние эпюры скоростей в канале на удельную кинетическую энергию потока. Ее учет в уравнении Бернулли.
Кавитация, причины, условия возникновения, меры борьбы с кавитацией. Определение возможности кавитации с помощью уравнения Бернулли.
Кавитация - явление, возникающее в жидкости при высоких скоростях движения жидкости, т.е. при малых давлениях. Кавитация - нарушение сплошности жидкости с образованием паровых и газовых пузырей (каверн), вызванное падением статического давления жидкости ниже давления насыщенных паров этой жидкости при данной температуре.
p2 = pнп = f(t) - условие возникновения кавитации
Меры борьбы с кавитацией:
Снижение скорости жидкости в трубопроводе;
Уменьшение перепадов диаметров трубопровода;
Повышение рабочего давления в гидросистемах (наддув баков сжатым газом);
Установка всасывающего отверстия насоса не выше допускаемой высоты всасывания (из паспорта насоса);
Применение кавитационно-стойких материалов.
Запишем уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2 потока реальной жидкости:
. Отсюда 
Правила применения уравнения Бернулли.
Выбираем два сечения потока: 1-1 и 2-2, а также горизонтальную плоскость отсчета 0-0 и записываем в общем виде уравнение Бернулли.
Плоскость сравнения 0-0 - любая горизонтальная плоскость. Для удобства её проводят через центр тяжести одного из сечений
Уравнение Бернулли является основным уравнением гидродинамики , устанавливающим связь между средней скоростью потока и гидродинамическим давлением в установившемся движении.
Рассмотрим элементарную струйку в установившемся движении идеальной жидкости. Выделим двумя сечениями, перпендикулярными к направлению вектора скоростиu , элемент длиной dl и площадью dF . Выделенный объем будет находиться под действием силы тяжести
и
сил гидродинамического давления
.
Так
как
,
то
.
Учитывая,
что в общем случае скорость выделенного
элемента
,
его ускорение
.
Применив
к выделенному элементу весом
уравнение динамики
в проекции на траекторию его движения,
получим
Учитывая
то, что
и
что при установившемся движении
,
после интегрирования и деления на
получим полный напор потока в
рассматриваемом сечении:
,
где
-
геометрический напор (высота), выражающий
удельную потенциальную энергию положения
частички жидкости над некоторой
плоскостью отсчета, м,
-
пьезометрический напор, выражающий
удельную энергию давления, м,
-
скоростной напор, выражающий удельную
кинетическую энергию, м,
-
статический напор, м.
Это и есть уравнение Бернулли. Трехчлен этого уравнения выражает напор в соответствующем сечении и представляет собой удельную (отнесенную к единице веса) механическую энергию, переносимую элементарной струйкой через это сечение.
В
практике технических измерений уравнение
Бернулли используют для определения
скорости жидкости
.
Уравнение
Бернулли можно получить еще и следующим
образом. Представим себе, что рассматриваемый
нами элемент жидкости является
неподвижным. Тогда на основании основного
уравнения гидростатики
потенциальная энергия жидкости в
сечениях 1 и 2 будет
.
Движение
жидкости характеризуется появлением
кинетической энергии, которая для
единицы веса будет равна для рассматриваемых
сечений
и
.
Полная энергия потока элементарной
струйки будет равна сумме потенциальной
и кинетической энергии, поэтому
.
Таким образом, основное уравнение гидростатики является следствием уравнения Бернулли.
Лекция №7
Уравнение бернулли для реальной жидкости
Уравнение Бернулли в установившемся движении идеальной жидкости имеет вид:
.
где
-
геометрический напор (высота), м,
- пьезометрический напор, м,
-
скоростной напор, м, 
- статический напор, м.
В случае реальной жидкости полный напор для разных струек в одном и том же сечении потока не будет одинаковым, так как неодинаковым будет скоростной напор в разных точках одного и того же сечения потока. Кроме того, в виду рассеяния энергии из-за трения напор от сечения к сечению будет убывать.
Однако для сечений потока, взятых там, где движение на его участках плавно меняющееся, для всех проходящих через сечение элементарных струек будет постоянным статический напор
.
Если уравнение Бернулли для элементарной струйки распространить на весь поток и учесть потери напора на сопротивление движению, то получим
где α – коэффициент кинетической энергии, равный для турбулентного потока 1,13, а для ламинарного – 2; v – средняя скорость потока; h – уменьшение удельной механической энергии потока на участке между сечениями 1 и 2, проходящее в результате сил внутреннего трения.
Расчет дополнительного члена h в уравнении Бернулли является основной задачей инженерной гидравлики.
Графическое представление уравнения Бернулли для нескольких сечений потока реальной жидкости имеет вид:
Л
иния
А, которая проходит по уровням в
пьезометрах, измеряющих в точках
избыточное давление, называетсяпьезометрической
линией
. Она
показывает изменение отсчитанного от
плоскости сравнения статического напора
Н
с
по длине потока. Пьезометрическая линия
отделяет область измерения потенциальной
и кинетической энергии.
Полный напор Н уменьшается по длине потока (линия В – линия полного напора реальной жидкости).
Градиент напора по длине потока называется гидравлическим уклоном и выражается формулой
,
т.е. гидравлический уклон численно равен синусу угла между горизонталью и линией полного напора реальной жидкости.
Расходомер Вентури
Р
асходомер
Вентури представляет собой устройство,
устанавливаемое в трубопроводах и
осуществляющее сужение потока –
дросселирование. Расходомер состоит
из двух участков – плавно сужающегося
(сопла) и постепенно расширяющегося
(диффузора). Скорость потока в суженном
месте возрастает, а давление падает. В
наибольшем и наименьшем сечениях трубы
установлены пьезометры, показания
которых позволяют определить перепад
пьезометрического напора между двумя
сечениями трубы и записать
.
В
этом уравнении неизвестными являются
v
1
и v
2
.
Из уравнения неразрывности следует
,
что позволяет определить скоростьv
2
и расход жидкости через трубу
,
где С – константа расходомера, учитывающая также и потери напора, так как определяется опытом.
Аналогично ведется расчет расходомерной шайбы, обычно выполняемой в виде кольца. Расход определяется по замеренной разности уровней в пьезометрах.
Уравнение Бернулли и уравнение неразрывности потока являются основными при расчете гидравлических систем.
Очень многое из окружающего нас мира подчиняется законам физики. Этому не стоит удивляться, ведь термин «физика» происходит от греческого слова, в переводе означающего «природа». И одним из таких законов, постоянно работающих вокруг нас, является закон Бернулли.
Сам по себе закон выступает как следствие принципа сохранения энергии. Такая его трактовка позволяет придать новое понимание многим ранее хорошо известным явлениям. Для понимания сути закона просто достаточно вспомнить протекающий ручеек. Вот он течет, бежит между камней, веток и корней. В каких-то местах делается шире, где-то уже. Можно заметить, что там, где ручеек шире, вода течет медленнее, где уже, вода течет быстрее. Вот это и есть принцип Бернулли, который устанавливает зависимость между давлением в потоке жидкости и скоростью движения такого потока.
Правда, учебники физики его формулируют несколько по-другому, и имеет он отношение к гидродинамике, а не к протекающему ручью. В достаточно популярном Бернулли можно изложить в таком варианте - давление жидкости, протекающей в трубе, выше там, где скорость ее движения меньше, и наоборот: там, где скорость больше, давление меньше.
Для подтверждения достаточно провести простейший опыт. Надо взять лист бумаги и подуть вдоль него. Бумага поднимется вверх, в ту сторону, вдоль которой проходит поток воздуха.
Все очень просто. Как говорит закон Бернулли, там, где скорость выше, давление меньше. Значит, вдоль поверхности листа, где проходит поток меньше, а снизу листа, где потока воздуха нет, давление больше. Вот лист и поднимается в ту сторону, где давление меньше, т.е. туда, где проходит поток воздуха.
Описанный эффект находит широкое применение в быту и в технике. Как пример можно рассмотреть краскопульт или аэрограф. В них используются две трубки, одна большего сечения, другая меньшего. Та, которая большего диаметра, присоединена к емкости с краской, по той, что меньшего сечения, проходит с большой скоростью воздух. Благодаря возникающей разности давлений краска попадает в поток воздуха и переносится этим потоком на поверхность, которая должна быть окрашена.
По этому же принципу может работать и насос. Фактически то, что описано выше, и есть насос.
Не менее интересно выглядит закон Бернулли в применении для осушения болот. Как всегда, все очень просто. Заболоченная местность соединяется канавами с рекой. Течение в реке есть, в болоте нет. Опять возникает разность давлений, и река начинает высасывать воду из заболоченной местности. Происходит в чистом виде демонстрация работы закона физики.
Воздействие этого эффекта может носить и разрушительный характер. Например, если два корабля пройдут близко друг от друга, то скорость движения воды между ними будет выше, чем с другой стороны. В результате возникнет дополнительная сила, которая притянет корабли друг к другу, и катастрофа будет неизбежна.
Можно все сказанное изложить в виде формул, но уравнения Бернулли писать совсем не обязательно для понимания физической сути этого явления.
Для лучшего понимания приведем еще один пример использования описываемого закона. Все представляют себе ракету. В специальной камере происходит сгорание топлива, и образуется реактивная струя. Для ее ускорения используется специально суженный участок - сопло. Здесь происходит ускорение струи газов и вследствие этого - рост
Существует еще множество различных вариантов использования закона Бернулли в технике, но все их рассмотреть в рамках настоящей статьи просто невозможно.
Итак, сформулирован закон Бернулли, дано объяснение физической сущности происходящих процессов, на примерах из природы и техники показаны возможные варианты применения этого закона.