Последовательность
После́довательность
сущ.
, ж.
, употр. сравн. часто
Морфология: (нет) чего? после́довательности
, чему? после́довательности
, (вижу) что? после́довательность
, чем? после́довательностью
, о чём? о после́довательности
;
мн.
что? после́довательности
, (нет) чего? после́довательностей
, чему? после́довательностям
, (вижу) что? после́довательности
, чем? после́довательностями
, о чём? о после́довательностях
1.
Последовательностью
называют ряд, в котором один элемент располагается следом за другим. Непрерывная последовательность.
| Хронологическая последовательность.
| Вспомнить последовательность событий.
| Последовательность в рассуждениях.
| Последовательность в поступках.
2. В математике, информатике последовательностью называют ряд чисел, информационных элементов определённого типа.
Бесконечная числовая последовательность. | Предел последовательности. | Структура - это объект, состоящий из последовательности именованных членов, каждый член может быть произвольного типа.
Толковый словарь русского языка Дмитриева . Д. В. Дмитриев. 2003 .
Синонимы :
Смотреть что такое "последовательность" в других словарях:
Последовательность это набор элементов некоторого множества: для каждого натурального числа можно указать элемент данного множества; это число является номером элемента и обозначает позицию данного элемента в последовательности; для любого… … Википедия
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ. У И. В. Киреевского в статье «Девятнадцатый век» (1830) читаем: «От самого падения Римской империи до наших времен просвещение Европы представляется нам в постепенном развитии и в беспрерывной последовательности» (т. 1, с.… … История слов
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, последовательности, мн. нет, жен. (книжн.). отвлеч. сущ. к последовательный. Последовательность каких нибудь явлений. Последовательность в смене приливов и отливов. Последовательность в рассуждениях. Толковый словарь Ушакова.… … Толковый словарь Ушакова
Постоянство, преемственность, логичность; ряд, прогрессия, вывод, серия, вереница, череда, цепь, цепочка, каскад, эстафета; упорство, обоснованность, набор, методичность, расстановка, стройность, упорность, подпоследовательность, связь, очередь,… … Словарь синонимов
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, числа или элементы, расположенные в организованном порядке. Последовательности могут быть конечными (имеющие ограниченное число элементов) или бесконечными, как полная последовательность натуральных чисел 1, 2, 3, 4 ....… … Научно-технический энциклопедический словарь
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, совокупность чисел (математических выражений и т.п.; говорят: элементов любой природы), занумерованных натуральными числами. Последовательность записывается в виде x1, x2,..., xn,... или коротко {xi} … Современная энциклопедия
Одно из основных понятий математики. Последовательность образуется элементами любой природы, занумерованными натуральными числами 1, 2, ..., n, ..., и записывается в виде x1, x2, ..., xn, ... или коротко {xn} … Большой Энциклопедический словарь
Последовательность - ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, совокупность чисел (математических выражений и т.п.; говорят: элементов любой природы), занумерованных натуральными числами. Последовательность записывается в виде x1, x2, ..., xn, ... или коротко {xi}. … Иллюстрированный энциклопедический словарь
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, и, жен. 1. см. последовательный. 2. В математике: бесконечный упорядоченный набор чисел. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
Англ. succession/sequence; нем. Konsequenz. 1. Порядок следования одного за другим. 2. Одно из основных понятий математики. 3. Качество правильного логического мышления, при к ром рассуждение свободно от внутренних противоречий по одному и тому… … Энциклопедия социологии
Последовательность - «функция, определенная на множестве натуральных чисел, множество значений которой может состоять из элементов любой природы: чисел, точек, функций, векторов, множеств, случайных величин и др., занумерованных натуральными числами … Экономико-математический словарь
Книги
- Выстраиваем последовательность. Котята. 2-3 года , . Игра "Котята" . Выстраиваем последовательность. 1 уровень. Серия" Дошкольное образование" . Весёлые котята решили позагорать на пляже! Но никак не могут поделить места. Помоги им…
Вида y = f (x ), x О N , где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f (n ) или y 1 , y 2 ,…, y n ,…. Значения y 1 , y 2 , y 3 ,… называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.
Например, для функции y = n 2 можно записать:
y 1 = 1 2 = 1;
y 2 = 2 2 = 4;
y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…
Способы задания последовательностей. Последовательности можно задавать различными способами, среди которых особенно важны три: аналитический, описательный и рекуррентный.
1. Последовательность задана аналитически, если задана формула ее n -го члена:
y n = f (n ).
Пример. y n = 2n – 1 – последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …
2. Описательный способ задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность.
Пример 1. «Все члены последовательности равны 1». Это значит, речь идет о стационарной последовательности 1, 1, 1, …, 1, ….
Пример 2. «Последовательность состоит из всех простых чисел в порядке возрастания». Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, …. При таком способе задания последовательности в данном примере трудно ответить, чему равен, скажем, 1000-й элемент последовательности.
3. Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n -й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Название рекуррентный способ происходит от латинского слова recurrere – возвращаться. Чаще всего в таких случаях указывают формулу, позволяющую выразить n -й член последовательности через предыдущие, и задают 1–2 начальных члена последовательности.
Пример 1. y 1 = 3; y n = y n –1 + 4, если n = 2, 3, 4,….
Здесь y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7; y 3 = 7 + 4 = 11; ….
Можно видеть, что полученную в этом примере последовательность может быть задана и аналитически: y n = 4n – 1.
Пример 2. y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n –1 , если n = 3, 4,….
Здесь: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;
Последовательность, составленную в этом примере, специально изучают в математике, поскольку она обладает рядом интересных свойств и приложений. Ее называют последовательностью Фибоначчи – по имени итальянского математика 13 в. Задать последовательность Фибоначчи рекуррентно очень легко, а аналитически – очень трудно. n -е число Фибоначчи выражается через его порядковый номер следующей формулой .
На первый взгляд, формула для n -го числа Фибоначчи кажется неправдоподобной, так как в формуле, задающей последовательность одних только натуральных чисел, содержатся квадратные корни, но можно проверить «вручную» справедливость этой формулы для нескольких первых n .
Свойства числовых последовательностей.
Числовая последовательность – частный случай числовой функции, поэтому ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.
Определение. Последовательность {y n } называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:
y 1 y 2 y 3 y n y n +1
Определение.Последовательность {y n } называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего:
y 1 > y 2 > y 3 > … > y n > y n +1 > … .
Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.
Пример 1. y 1 = 1; y n = n 2 – возрастающая последовательность.
Таким образом, верна следующая теорема (характеристическое свойство арифметической прогрессии). Числовая последовательность является арифметической тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.
Пример. При каком значении x числа 3x + 2, 5x – 4 и 11x + 12 образуют конечную арифметическую прогрессию?
Согласно характеристическому свойству, заданные выражения должны удовлетворять соотношению
5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.
Решение этого уравнения дает x = –5,5. При этом значении x заданные выражения 3x + 2, 5x – 4 и 11x + 12 принимают, соответственно, значения –14,5, –31,5, –48,5. Это – арифметическая прогрессия, ее разность равна –17.
Геометрическая прогрессия.
Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на одно и то же число q , называют геометрической прогрессией, а число q – знаменателем геометрической прогрессии.
Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность {b n }, заданная рекуррентно соотношениями
b 1 = b , b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).
(b и q – заданные числа, b ≠ 0, q ≠ 0).
Пример 1. 2, 6, 18, 54, … – возрастающая геометрическая прогрессия b = 2, q = 3.
Пример 2. 2, –2, 2, –2, … – геометрическая прогрессия b = 2, q = –1.
Пример 3. 8, 8, 8, 8, … – геометрическая прогрессия b = 8, q = 1.
Геометрическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если b 1 > 0, q > 1, и убывающей, если b 1 > 0, 0 q
Одно из очевидных свойств геометрической прогрессии состоит в том, что если последовательность является геометрической прогрессией, то и последовательность квадратов, т.е.
b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,… является геометрической прогрессией, первый член которой равен b 1 2 , а знаменатель – q 2 .
Формула n- го члена геометрической прогрессии имеет вид
b n = b 1 q n– 1 .
Можно получить формулу суммы членов конечной геометрической прогрессии.
Пусть дана конечная геометрическая прогрессия
b 1 , b 2 , b 3 , …, b n
пусть S n – сумма ее членов, т.е.
S n = b 1 + b 2 + b 3 + … + b n .
Принимается, что q № 1. Для определения S n применяется искусственный прием: выполняются некоторые геометрические преобразования выражения S n q .
S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n )q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n + b n q = S n + b n q – b 1 .
Таким образом, S n q = S n + b n q – b 1 и, следовательно,
Это формула суммы n членов геометрической прогрессии для случая, когда q ≠ 1.
При q = 1 формулу можно не выводить отдельно, очевидно, что в этом случае S n = a 1 n .
Геометрической прогрессия названа потому, что в ней каждый член кроме первого, равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов. Действительно, так как
b n = b n- 1 q;
b n = b n+ 1 /q,
следовательно, b n 2= b n– 1 b n+ 1 и верна следующаятеорема(характеристическое свойство геометрической прогрессии):
числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен произведению предыдущего и последующего членов.
Предел последовательности.
Пусть есть последовательность {c n } = {1/n }. Эту последовательность называют гармонической, поскольку каждый ее член, начиная со второго, есть среднее гармоническое между предыдущим и последующим членами. Среднее геометрическое чисел a и b есть число
В противном случае последовательность называется расходящейся.
Опираясь на это определение, можно, например, доказать наличие предела A = 0 у гармонической последовательности {c n } = {1/n }. Пусть ε – сколь угодно малое положительное число. Рассматривается разность
Существует ли такое N , что для всех n ≥ N выполняется неравенство 1/N ? Если взять в качестве N любое натуральное число, превышающее 1/ε , то для всех n ≥ N выполняется неравенство 1/n ≤ 1/N ε , что и требовалось доказать.
Доказать наличие предела у той или иной последовательности иногда бывает очень сложно. Наиболее часто встречающиеся последовательности хорошо изучены и приводятся в справочниках. Имеются важные теоремы, позволяющие сделать вывод о наличии предела у данной последовательности (и даже вычислить его), опираясь на уже изученные последовательности.
Теорема 1. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.
Теорема 2. Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.
Теорема 3. Если последовательность {a n } имеет предел A , то последовательности {ca n }, {a n + с} и {| a n |} имеют пределы cA , A + c , |A | соответственно (здесь c – произвольное число).
Теорема 4. Если последовательности {a n } и {b n } имеют пределы, равные A и B pa n + qb n } имеет предел pA + qB .
Теорема 5. Если последовательности {a n } и {b n }имеют пределы, равные A и B соответственно, то последовательность {a n b n } имеет предел AB.
Теорема 6. Если последовательности {a n } и {b n } имеют пределы, равные A и B соответственно, и, кроме того, b n ≠ 0 и B ≠ 0, то последовательность {a n / b n } имеет предел A/B .
Анна Чугайнова
Математика — наука, строящая мир. Как учёный, так и простой человек — никто не сможет обойтись без неё. Сначала маленьких детей учат считать, потом складывать, вычитать, умножать и делить, к средней школе в ход вступают буквенные обозначения, а в старшей без них уже не обойтись.
Но сегодня речь пойдёт о том, на чём строится вся известная математика. О сообществе чисел под названием «пределы последовательностей».
Что такое последовательности и где их предел?
Значение слова «последовательность» трактовать нетрудно. Это такое построение вещей, где кто-то или что-то расположены в определённом порядке или очереди. Например, очередь за билетами в зоопарк — это последовательность. Причём она может быть только одна! Если, к примеру, посмотреть на очередь в магазин — это одна последовательность. А если один человек из этой очереди вдруг уйдёт, то это уже другая очередь, другой порядок.
Слово «предел» также легко трактуется — это конец чего-либо. Однако в математике пределы последовательностей — это такие значения на числовой прямой, к которым стремится последовательность чисел. Почему стремится, а не заканчивается? Всё просто, у числовой прямой нет конца, а большинство последовательностей, как лучи, имеют только начало и выглядят следующим образом:
х 1 , х 2 , х 3 , …х n …
Отсюда определение последовательности — функция натурального аргумента. Более простыми словами — это ряд членов некоторого множества.
Как строится числовая последовательность?
Простейший пример числовой последовательности может выглядеть так: 1, 2, 3, 4, …n…
В большинстве случаев для практических целей последовательности строятся из цифр, причём каждый следующий член ряда, обозначим его Х, имеет своё имя. Например:
х 1 — первый член последовательности;
х 2 — второй член последовательности;
х 3 — третий член;
х n — энный член.
В практических методах последовательность задаётся общей формулой, в которой есть некоторая переменная. Например:
Х n =3n, тогда сам ряд чисел будет выглядеть так:
Стоит не забывать, что при общей записи последовательностей можно использовать любые латинские буквы, а не только Х. Например: y, z, k и т. д.
Арифметическая прогрессия как часть последовательностей
Прежде чем искать пределы последовательностей, целесообразно поглубже окунуться в само понятие подобного числового ряда, с которым все сталкивались, будучи в средних классах. Арифметическая прогрессия — это ряд чисел, в котором разница между соседними членами постоянна.
Задача: «Пусть а 1 =15, а шаг прогрессии числового ряда d=4. Постройте первые 4 члена этого ряда»
Решение: а 1 = 15 (по условию) — первый член прогрессии (числового ряда).
а 2 = 15+4=19 — второй член прогрессии.
а 3 =19+4=23 — третий член.
а 4 =23+4=27 — четвёртый член.
Однако подобным методом трудно добраться до крупных значений, например до а 125. . Специально для таких случаев была выведена удобная для практики формула: а n =a 1 +d(n-1). В данном случае а 125 =15+4(125-1)=511.
Виды последовательностей
Большинство последовательностей бесконечны, это стоит запомнить на всю жизнь. Существует два интересных вида числового ряда. Первый задаётся формулой а n =(-1) n . Математики часто называют эту последовательностей мигалкой. Почему? Проверим её числовой ряд.
1, 1, -1 , 1, -1, 1 и т. д. На подобном примере становится ясно, что числа в последовательностях могут легко повторяться.
Факториальная последовательность. Легко догадаться — в формуле, задающей последовательность, присутствует факториал. Например: а n = (n+1)!
Тогда последовательность будет выглядеть следующим образом:
а 2 = 1х2х3 = 6;
а 3 = 1х2х3х4 =24 и т. д.
Последовательность, заданная арифметической прогрессией, называется бесконечно убывающей, если для всех её членов соблюдается неравенство -1 а 3 = - 1/8 и т. д. Существует даже последовательность, состоящая из одного и того же числа. Так, а n =6 состоит из бесконечного множества шестёрок. Пределы последовательностей давно существуют в математике. Конечно, они заслужили свое собственное грамотное оформление. Итак, время узнать определение пределов последовательностей. Для начала рассмотрим подробно предел для линейной функции: Легко понять, что определение предела последовательности может быть сформулировано следующим образом: это некоторое число, к которому бесконечно приближаются все члены последовательности. Простой пример: а x = 4x+1. Тогда сама последовательность будет выглядеть следующим образом. 5, 9, 13, 17, 21…x … Таким образом, данная последовательность будет бесконечно увеличиваться, а, значит, её предел равен бесконечности при x→∞, и записывать это следует так: Если же взять похожую последовательность, но х будет стремиться к 1, то получим: А ряд чисел будет таким: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944 и т. д. Каждый раз нужно подставлять число всё больше приближеннее к единице (0.1, 0.2, 0.9, 0.986). Из этого ряда видно, что предел функции — это пять. Из этой части стоит запомнить, что такое предел числовой последовательности, определение и метод решения простых заданий. Разобрав предел числовой последовательности, определение его и примеры, можно приступить к более сложной теме. Абсолютно все пределы последовательностей можно сформулировать одной формулой, которую обычно разбирают в первом семестре. Итак, что же обозначает этот набор букв, модулей и знаков неравенств? ∀ — квантор всеобщности, заменяющий фразы «для всех», «для всего» и т. п. ∃ — квантор существования, в данном случае обозначает, что существует некоторое значение N, принадлежащее множеству натуральных чисел. Длинная вертикальная палочка, следующая за N, значит, что данное множество N «такое, что». На практике она может означать «такая, что», «такие, что» и т. п. Для закрепления материала прочитайте формулу вслух. Метод нахождения предела последовательностей, который рассматривался выше, пусть и прост в применении, но не так рационален на практике. Попробуйте найти предел для вот такой функции: Если подставлять различные значения «икс» (с каждым разом увеличивающиеся: 10, 100, 1000 и т. д.), то в числителе получим ∞, но в знаменателе тоже ∞. Получается довольно странная дробь: Но так ли это на самом деле? Вычислить предел числовой последовательности в данном случае кажется достаточно легко. Можно было бы оставить всё, как есть, ведь ответ готов, и получен он на разумных условиях, однако есть ещё один способ специально для таких случаев. Для начала найдём старшую степень в числителе дроби — это 1, т. к. х можно представить как х 1 . Теперь найдём старшую степень в знаменателе. Тоже 1. Разделим и числитель, и знаменатель на переменную в высшей степени. В данном случае дробь делим на х 1 . Далее найдём, к какому значению стремится каждое слагаемое, содержащее переменную. В данном случае рассматриваются дроби. При х→∞ значение каждой из дробей стремится к нулю. При оформлении работы в писменном виде стоит сделать такие сноски: Получается следующее выражение: Конечно же, дроби, содержащие х, не стали нулями! Но их значение настолько мало, что вполне разрешено не учитывать его при расчётах. На самом же деле х никогда не будет равен 0 в данном случае, ведь на ноль делить нельзя. Предположим, в распоряжении профессора сложная последовательность, заданная, очевидно, не менее сложной формулой. Профессор нашёл ответ, но подходит ли он? Ведь все люди ошибаются. Огюст Коши в своё время придумал отличный способ для доказательства пределов последовательностей. Его способ назвали оперированием окрестностями. Предположим, что существует некоторая точка а, её окрестность в обе стороны на числовой прямой равна ε («эпсилон»). Поскольку последняя переменная — расстояние, то её значение всегда положительно. Теперь зададим некоторую последовательность х n и положим, что десятый член последовательности (x 10) входит в окрестность а. Как записать этот факт на математическом языке? Допустим, х 10 находится правее от точки а, тогда расстояние х 10 -а<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε. Теперь пора разъяснить на практике ту формулу, о которой говорилось выше. Некоторое число а справедливо называть конечной точкой последовательности, если для любого её предела выполняется неравенство ε>0, причём вся окрестность имеет свой натуральный номер N, такой, что всё члены последовательности с более значительными номерами окажутся внутри последовательности |x n - a|< ε. С такими знаниями легко осуществить решение пределов последовательности, доказать или опровергнуть готовый ответ. Теоремы о пределах последовательностей — важная составляющая теории, без которой невозможна практика. Есть всего лишь четыре главных теоремы, запомнив которые, можно в разы облегчить ход решения или доказательства: Иногда требуется решить обратную задачу, доказать заданный предел числовой последовательности. Рассмотрим на примере. Доказать, что предел последовательности, заданной формулой, равен нолю. По рассмотренному выше правилу, для любой последовательности должно выполняться неравенство |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим: Выразим n через «эпсилон», чтобы показать существование некоего номера и доказать наличие предела последовательности. На этом этапе важно напомнить, что «эпсилон» и «эн» - числа положительные и не равны нулю. Теперь можно продолжать дальнейшие преобразования, используя знания о неравенствах, полученные в средней школе. Откуда получается, что n > -3 + 1/ε. Поскольку стоит помнить, что речь идёт о натуральных числах, то результат можно округлить, занеся его в квадратные скобки. Таким образом, было доказано, что для любого значения окрестности «эпсилон» точки а=0 нашлось значение такое, что выполняется начальное неравенство. Отсюда можно смело утверждать, что число а есть предел заданной последовательности. Что и требовалось доказать. Вот таким удобным методом можно доказать предел числовой последовательности, какой бы сложной она на первый взгляд ни была. Главное — не впадать в панику при виде задания. Существование предела последовательности необязательно на практике. Легко можно встретить такие ряды чисел, которые действительно не имеют конца. К примеру, та же «мигалка» x n = (-1) n . очевидно, что последовательность, состоящая всего лишь из двух цифр, циклически повторяющихся, не может иметь предела. Та же история повторяется с последовательностями, состоящими из одного числа, дробными, имеющими в ходе вычислений неопределённость любого порядка (0/0, ∞/∞, ∞/0 и т. д.). Однако следует помнить, что неверное вычисление тоже имеет место быть. Иногда предел последоватей найти поможет перепроверка собственного решения. Выше рассматривались несколько примеров последовательностей, методы их решения, а теперь попробуем взять более определённый случай и назовём его «монотонной последовательностью». Определение: любую последовательность справедливо называть монотонно возрастающей, если для нее выполняется строгое неравенство x n < x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n > x n +1. Наряду с этими двумя условиями существуют также подобные нестрогие неравенства. Соответственно, x n ≤ x n +1 (неубывающая последовательность) и x n ≥ x n +1 (невозрастающая последовательность). Но легче понимать подобное на примерах. Последовательность, заданная формулой х n = 2+n, образует следующий ряд чисел: 4, 5, 6 и т. д. Это монотонно возрастающая последовательность. А если взять x n =1/n, то получим ряд: 1/3, ¼, 1/5 и т. д. Это монотонно убывающая последовательность. Ограниченная последовательность — последовательность, имеющая предел. Сходящаяся последовательность — ряд чисел, имеющий бесконечно малый предел. Таким образом, предел ограниченной последовательности — это любое действительное или комплексное число. Помните, что предел может быть только один. Предел сходящейся последовательности — это величина бесконечно малая (действительная или комплексная). Если начертить диаграмму последовательности, то в определённой точке она будет как бы сходиться, стремиться обратиться в определённую величину. Отсюда и название — сходящаяся последовательность. Предел у такой последовательности может быть, а может и не быть. Сначала полезно понять, когда он есть, отсюда можно оттолкнуться при доказательстве отсутствия предела. Среди монотонных последовательностей выделяют сходящуюся и расходящуюся. Сходящаяся — это такая последовательность, которая образована множеством х и имеет в данном множестве действительный или комплексный предел. Расходящаяся — последовательность, не имеющая предела в своём множестве (ни действительного, ни комплексного). Причём последовательность сходится, если при геометрическом изображении её верхний и нижний пределы сходятся. Предел сходящейся последовательности во многих случаях может быть равен нулю, так как любая бесконечно малая последовательность имеет известный предел (ноль). Какую сходящуюся последовательность ни возьми, они все ограничены, однако далеко не все ограниченные последовательности сходятся. Сумма, разность, произведение двух сходящихся последовательностей - также сходящаяся последовательность. Однако частное может быть также сходящейся, если оно определено! Пределы последовательностей — это такая же существенная (в большинстве случаев) величина, как и цифры и числа: 1, 2, 15, 24, 362 и т. д. Получается, что с пределами можно проводить некоторые операции. Во-первых, как и цифры и числа, пределы любых последовательностей можно складывать и вычитать. Исходя из третьей теоремы о пределах последовательностей, справедливо следующее равенство: предел суммы последовательностей равен сумме их пределов. Во-вторых, исходя из четвёртой теоремы о пределах последовательностей, справедливо следующее равенство: предел произведения n-ого количества последовательностей равен произведению их пределов. То же справедливо и для деления: предел частного двух последовательностей равен частному их пределов, при условии что предел не равен нулю. Ведь если предел последовательностей будет равен нулю, то получится деление на ноль, что невозможно. Казалось бы, предел числовой последовательности уже разобран довольно подробно, однако не раз упоминаются такие фразы, как «бесконечно маленькие» и «бесконечно большие» числа. Очевидно, если есть последовательность 1/х, где x→∞, то такая дробь бесконечно малая, а если та же последовательность, но предел стремится к нулю (х→0), то дробь становится бесконечно большой величиной. А у таких величин есть свои особенности. Свойства предела последовательности, имеющей какие угодно малые или большие величины, состоят в следующем: На самом деле вычислить предел последовательности - не такая сложная задача, если знать простой алгоритм. Но пределы последовательностей — тема, требующая максимума внимания и усидчивости. Конечно, достаточно просто уловить суть решения подобных выражений. Начиная с малого, со временем можно достигнуть больших вершин. Функция a n =f (n) натурального аргумента n (n=1; 2; 3; 4;...) называется числовой последовательностью. Числа a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ;…, образующие последовательность, называются членами числовой последовательности. Так a 1 =f (1); a 2 =f (2); a 3 =f (3); a 4 =f (4);… Итак, члены последовательности обозначаются буквами с указанием индексов — порядковых номеров их членов: a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ;…, следовательно, a 1 — первый член последовательности; a 2 - второй член последовательности; a 3 - третий член последовательности; a 4 - четвертый член последовательности и т.д. Кратко числовую последовательность записывают так: a n =f (n) или {a n }. Существуют следующие способы задания числовой последовательности: 1)
Словесный способ.
Представляет собой закономерность или правило расположения членов последовательности, описанный словами. Пример 1
. Написать последовательность всех неотрицательных чисел, кратных числу 5. Решение. Так как на 5 делятся все числа, оканчивающиеся на 0 или на 5, то последовательность запишется так: 0; 5; 10; 15; 20; 25; ... Пример 2.
Дана последовательность: 1; 4; 9; 16; 25; 36; ... . Задайте ее словесным способом. Решение. Замечаем, что 1=1 2 ; 4=2 2 ; 9=3 2 ; 16=4 2 ; 25=5 2 ; 36=6 2 ; … Делаем вывод: дана последовательность, состоящая из квадратов чисел натурального ряда. 2)
Аналитический способ.
Последовательность задается формулой n-го члена: a n =f (n). По этой формуле можно найти любой член последовательности. Пример 3.
Известно выражение k-го члена числовой последовательности: a k = 3+2·(k+1). Вычислите первые четыре члена этой последовательности. a 1 =3+2∙(1+1)=3+4=7; a 2 =3+2∙(2+1)=3+6=9; a 3 =3+2∙(3+1)=3+8=11; a 4 =3+2∙(4+1)=3+10=13. Пример 4.
Определите правило составления числовой последовательности по нескольким ее первым членам и выразите более простой формулой общий член последовательности: 1; 3; 5; 7; 9; ... . Решение. Замечаем, что дана последовательность нечетных чисел. Любое нечетное число можно записать в виде: 2k-1, где k — натуральное число, т.е. k=1; 2; 3; 4; ... . Ответ: a k =2k-1. 3)
Рекуррентный способ.
Последовательность также задается формулой, но не формулой общего члена, зависящей только от номера члена. Задается формула, по которой каждый следующий член находят через предыдущие члены. В случае рекуррентного способа задания функции всегда дополнительно задается один или несколько первых членов последовательности. Пример 5.
Выписать первые четыре члена последовательности {a n }, если a 1 =7; a n+1 = 5+a n . a 2 =5+a 1 =5+7=12; a 3 =5+a 2 =5+12=17; a 4 =5+a 3 =5+17=22. Ответ: 7; 12; 17; 22; ... . Пример 6.
Выписать первые пять членов последовательности {b n }, если b 1 = -2, b 2 = 3; b n+2 = 2b n +b n+1 . b 3 = 2∙b 1 + b 2 = 2∙(-2) + 3 = -4+3=-1; b 4 = 2∙b 2 + b 3 = 2∙3 +(-1) = 6 -1 = 5; b 5 = 2∙b 3 + b 4 = 2∙(-1) + 5 = -2 +5 = 3. Ответ: -2; 3; -1; 5; 3; ... . 4)
Графический способ.
Числовая последовательность задается графиком, который представляет собой изолированные точки. Абсциссы этих точек — натуральные числа: n=1; 2; 3; 4; ... . Ординаты — значения членов последовательности: a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ;… . Пример 7.
Запишите все пять членов числовой последовательности, заданной графическим способом. Каждая точки в этой координатной плоскости имеет координаты (n; a n). Выпишем координаты отмеченных точек по возрастанию абсциссы n
. Получаем: (1
; -3), (2
; 1), (3
; 4), (4
; 6), (5
; 7). Следовательно, a 1 = -3; a 2 =1; a 3 =4; a 4 =6; a 5 =7. Ответ: -3; 1; 4; 6; 7. Рассмотренная числовая последовательность в качестве функции (в примере 7) задана на множестве первых пяти натуральных чисел (n=1; 2; 3; 4; 5), поэтому, является конечной числовой последовательностью
(состоит из пяти членов). Если числовая последовательность в качестве функции будет задана на всем множестве натуральных чисел, то такая последовательность будет бесконечной числовой последовательностью.
Определение предела последовательности
Общее обозначение предела последовательностей
Неопределённость и определённость предела
Что такое окрестность?
Теоремы
Доказательство последовательностей
А может, его нет?
Монотонная последовательность
Предел сходящейся и ограниченной последовательности
Предел монотонной последовательности
Различные действия с пределами
Свойства величин последовательностей
