Рис. 6.23. Магнитные силовые линии поля: 1 - соленоида; 2 - полосового магнита
Магнитное поле соленоида напоминает поле полосового магнита (рис. 6.23-2).
Если витки намотаны вплотную, то соленоид - это система круговых токов, имеющих одну ось.
Если считать соленоид достаточно длинным, то магнитное поле внутри соленоида однородно и направлено параллельно оси. Вне соленоида вдали от краев магнитное поле также должно иметь направление параллельное оси и на большом расстоянии от соленоида должно быть очень слабым. Поле убывает по закону
Подсчитаем поле внутри соленоида. Возьмем элемент соленоида длиной dh , находящийся на расстоянии h от точки наблюдения. Если катушка имеет n витков на единицу длины, то в выделенном элементе содержится ndh витков. Согласно формуле (6.11), этот элемент создает магнитное поле
|
|
Интегрируя по всей длине соленоида, получаем
|
|
Таким образом, поле в бесконечно длинном соленоиде дается выражением
На практике соленоиды бесконечно длинными не бывают. Для иллюстрации рассмотрим некоторые примеры.
Пример 1. Найти магнитное поле в середине соленоида конечной длины l (рис. 6.24). Сравнить с полем бесконечно длинного соленоида. При каких условиях разница составляет менее 0,5 %?
Рис. 6.24. Магнитное поле катушки конечной длины
В центре соленоида магнитное поле практически однородно и значительно превышает по модулю поле вне катушки
Решение. Магнитное поле в средней точке оси соленоида конечной длины l дается тем же интегралом (6.19), но с другими пределами интегрирования
|
|
Если длина соленоида много больше его диаметра (l >> 2R ), мы возвращаемся к формуле для поля в бесконечно длинном соленоиде (6.20). Относительная разница этих двух значений равна
По условию эта разница мала: , то есть мало отношение диаметра соленоида к его длине: 2R /l << 1. Поэтому можно воспользоваться формулой разложения квадратного корня
Подставляя численное значение d , находим, что разница будет менее половины процента при выполнении соотношения
Иными словами, соленоид может рассматриваться как бесконечно длинный, если его длина в двадцать или более раз превышает радиус.
Пример 2. Найти магнитное поле В е в крайней торцевой точке оси соленоида конечной длины l . Сравнить с результатом предыдущего примера.
Решение. Магнитное поле в торцевой точке оси соленоида конечной длины l дается тем же интегралом (6.19), но теперь пределы интегрирования будут выглядеть иначе
|
|
Отношение полей в средней и крайней точках оси соленоида равно
Это отношение всегда меньше единицы (то есть поле на торце меньше поля в середине соленоида). При l >> R имеем
Этот результат легко понять. Представим себе бесконечный соленоид, который мысленно рассекаем пополам в точке наблюдения. Можно считать, что поле в этой точке создается двумя одинаковыми «полубесконечными» соленоидами, расположенными по разные стороны от нее. Ясно, что при удалении одного из них точка наблюдения становится торцом оставшегося «полубесконечного» соленоида, а магнитная индукция в ней уменьшиться именно в два раза.
Это - так называемый краевой эффект. Пример демонстрирует, что недостаточно выполнения соотношения l >> R , чтобы пользоваться формулами для бесконечно длинного соленоида; надо еще, чтобы точка наблюдения находилась далеко от его концов.
На рис. 6.25 представлен опыт по исследованию распределения силовых линий магнитного поля вокруг соленоида. Поле соленоида, ось которого лежит в плоскости пластинки, сосредоточено в основном внутри соленоида. Силовые линии внутри имеют вид параллельных прямых вдоль оси катушки, а поле снаружи практически отсутствует.
Рис. 6.25. Визуализация силовых линий магнитного поля
Магнитное поле соленоида представляет собой суперпозицию отдельных полей, которые создаются каждым витком в отдельности. Через все витки протекает один и тот же ток. Оси всех витков лежат на одной лини. Соленоид представляет собой катушку индуктивности, имеющую цилиндрическую форму. Эта катушка намотана из проводящей проволоки. При этом витки уложены плотно друг к другу и имеют одном направление. При этом считается, что длинна катушки значительно превышает диаметр витков.
Давайте рассмотрим магнитную индукцию, создаваемую каждым витком. Видно, что индукция внутри каждого витка направлена в одну и ту же сторону. Если смотреть в центр витка, то индукция от его краев будет складываться. При этом индукция магнитного поля между двух соседних витков направлена встречно. Так как она создана одним и тем же током то она компенсируется.
Рисунок 1 — Поле создаваемое отдельными витками соленоида
Если витки соленоида намотаны достаточно плотно, то между всеми витками встречное поле будет компенсировано, а внутри витков произойдет сложение отдельных поле в одно общее. Линии этого поля будут проходить внутри соленоида, и охватывать его снаружи.
Если исследовать магнитное поле внутри соленоида любыми способами, например, с помощью железных опилок то можно сделать вывод, что оно однородно. Лини магнитного поля в этой области представляют собой параллельные прямые. Мало того что они параллельны сами себе но они еще параллельны оси соленоида. Выходя за приделы соленоида, они искривляются и замыкаются снаружи катушки.
Рисунок 2 — Поле создаваемое соленоидом
Из рисунка видно, что поле создаваемое соленоидом похоже на поле, которое создает постоянный стержневой магнит. На одном конце силовые линии выходят из соленоида и этот конец аналогичен северному полюсу постоянного магнита. А в другой они входят, и этот конец соответствует южному полюсу. Отличие же заключается в том, что поле присутствует и внутри соленоида. И если провести опыт с железными опилками, то они втянутся в пространство между витками.
Но если внутрь соленоида вставить деревянный сердечник либо сердечник из любого другого немагнитного материала, то при проведении опыта с железной стружкой картина поля постоянного магнита и соленоида будет идентична. Так как деревянный сердечник не исказит силовые лини, но при этом не даст проникнуть опилкам внутрь катушки.
Рисунок 3 — Картина поля постоянного стержневого магнита
Для определения полюсов соленоида можно использовать несколько методов. Например, самый простой, использовать магнитную стрелку. Она притянется к противоположному полюсу магнита. Если же известно направление тока в витке полюсы можно определить при помощи правила правого винта. Если вращать головку правого винта в направлении тока, то поступательное движение укажет направление поля в соленоиде. А зная, что поле направлено от северного полюса к южному и можно определить, где какой полюс находится.
Лабораторная работа № 9
Изучение магнитного поля соленоида
1.Цель работы
Изучение распределения магнитного поля конечного соленоида при помощи явления электромагнитной индукции.
2.Краткое теоретическое введение
Соленоид – это цилиндрическая катушка, обмотка которой состоит из большого числа витков проволоки, образующих винтовую линию. Если витки расположены вплотную, то соленоид можно рассматривать как систему последовательно соединенных круговых токов, имеющих общую ось. Индукция магнитного поля в любой точке соленоида равно векторной сумме индукций магнитных полей, создаваемых в данной точке всеми витками. Вектор магнитной индукций в точке, лежащей на оси соленоида конечных размеров, направлен вдоль оси, а его значение вычисляется по формуле:
, (1)
где L - длина соленоида, R –радиус его витков,
Х – расстояние от края соленоида до исследуемой точки,
I – сила тока, протекающего по виткам,
n - число витков на единицу длина соленоида,
Относительная магнитная проницаемость среды,
μ0 - магнитная постоянная.
Единицей измерения индукции магнитного поля в системе СИ является «Тесла»: [B] = Тл
Из выражения (1) следует, что индукция магнитного поля максимальна на оси соленоида в точке, соответсвующей его середине:
. (2)
Если длина соленоида намного превышает радиус его витков, то соленоид можно условно считать бесконечно длинным. Магнитное поле внутри бесконечно длинного соленоида является однородным, при этом его индукция равна:
. (3)
Распределение магнитного поля соленоида конечной длины является более сложным по сравнению с простейшим случаем бесконечно длинного соленоида. Для многих других конфигураций магнитного поля, теоретический расчет которых затруднителен, предпочтительней определять магнитную индукцию экспериментально.
Величину можно измерить, использую, например, явление электромагнитной индукции. Если в некоторую точку магнитного поля поместить не большой контур, то при изменениях магнитного потока, пронизывающего этот контур, в последнем возникнет э. д.с., индукции, электромагнитной индукции (закону Фарадея), имеем:
В настоящей работе в качестве контура используется измерительная катушка (ИК), состоящая из большого количества витков N. Возникающая в ней э. д.с. индукции складывается из э. д.с. отдельных витков, т.е.
, (5)
где S –площадь поперечного сечения ИК.
Если в обмотке соленоида протекает переменный ток, то магнитное поле, создаваемое этим током, также является переменным, т. е.
, (6)
где В0 - амплитудное значение магнитной индукции,
– циклическая частота переменного тока.
Из формул (5) и (6) следует, что э. д.с. индукции, наведения ИК, изменяется во времени по закону:
e = e0 sin(wt) (7)
где e0 - амплитудное значение э. д.с., равное
e0 = NSwB0 = kB0 , (8)
Коэффициент называется градуировочной постоянной измерительной установки. Ее можно определить экспериментально.
Вольтметр, используемый для измерения э. д.с. индукции e, показывает эффективное значение переменного напряжения U, связанное с амплитудным значением э. д.с. (e0) соотношением:
https://pandia.ru/text/80/314/images/image011_30.gif" width="92" height="26"> . (10)
Из формул (9) и (10) следует, что отношение эффективного напряжения в любой точке нахождения ИК к его максимальному эффективному значению в центре соленоида равно отношению магнитной индукции в этой точке к максимальной магнитной индукции в центре соленоида:
. (11)
Поэтому распределение индукции магнитного поля соленоида можно изучать, не вычисляя градуировочную постоянную измерительной установки k.
3.Описание экспериментальной установки.
Внутри исследуемого соленоида при помощи стрежня с указателем, скользящим вдоль шкалы, может перемещаться измерительная катушка. Ось катушки параллельна оси соленоида. ИК можно передвигать и в направлении, перпендикулярном оси соленоида. Установка собирается по электрической схеме, приведенной на рис.1. Обмотка соленоида питается переменным током, измеряемым амперметром и изменяемым при помщи реостата. Э. д.с. индукции, возникающая в ИК, измеряется вольтметром. Это эффективное значение э. д.с. индукции, связанное с амплитудным значением индукции магнитного поля соленоида в точке нахождения ИК по формуле (9).
Измерения сводятся к фиксации координаты расположения ИК относительно соленоида и значения э. д.с. индукции, соответствующего этому положения.
4.Рабочее задание
Задание 4.1. Распределение индукции магнитного поля конечного соленоида.
4.1.1. Соберите электрическую цепь по схеме на рис.1
4.1.2. Установите фиксированный ток в обмотке соленоида 1,5А.
4.1.3. Изменяя положение ИК относительно соленоида, измерьте э. д.с. индукции. ИК следует перемещать вдоль оси соленоида 2 см, записывая для каждой координаты показания вольтметра в таблицу 4.1.
4.1.4..gif" width="84" height="45">, пользуясь расчетными формулами (1),(2). Сравните экспериментальную и теоретическую зависимости. Оцените систематическую погрешность проведенных измерений.
Таблица 4.1.
Задание 4.2. Зависимость величины магнитной индукции от силы тока в соленоиде.
4.2.1. Установите ИК в середине соленоида, где магнитное поле максимально.
4.2.2. Для разных значений тока в соленоиде измерьте э. д.с. индукции, наведенной в ИК. Для этих же значений тока рассчитайте значения магнитной индукции в центре конечного соленоида, пользуясь формулой (2). Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу 4.2.
4.2.3. Постройте, желательно используя метод наименьших квадратов, график зависимости 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">
Ток соленоида, Ic, A
Э. д.с. индукции
Индукция магнитного поля
Предел измерения
Показание прибора
Значение тока
Вmax, 10-3 Тл
|
Рис 1.Электрическая схема экспериментальной установки
Задание 4.3. Радиальное распределение индукции магнитного поля конечного соленоида.
4.3.1. Установите ИК на краю соленоида.
4.3.2. Установите фиксированный ток в обмотке соленоида 1,5А.
4.3.3. Передвигая Ик в направлении, перпендикулярном оси соленоида, измерьте э. д.с. индукции. ИК следует перемещать на 0,5 см, записывая для каждой координаты показания вольтметра в таблицу 4.3.
4.3.4. Зная значение градуировочной постоянной измерительной установки, вычислите по формуле (9) для каждой координаты значение индукции магнитного поля.
4.3.5. Постройте график зависимости В = f(х).
4.3.6. Установите ИК в центре соленоида.
4.3.7. Выполните для этого положения ИК задания п. п. 4.3.4.-4.3.6.
4.3.8. Перепишите в тетрадь следующие постоянные величины: длину соленоида, его диаметр, число его витков, длину измерительной катушки, ее диаметр, число ее витков.
Таблица 4.3.
В приложении приведена программа для обработки результатов лабораторной работы на ЭВМ. При вводе экспериментальных данных не забудьте перевести их в систему единиц СИ.
5.Контрольные вопросы
5.1. Что такое индукция магнитного поля?
5.2. Какие методы измерения магнитной индукции Вы знаете?
5.3. В чем заключается явление электромагнитной индукции?
5.4. Можно ли в данной работе использовать источник постоянного тока?
5.5. Какова природа возникновения э. д.с. индукции в ИК?
5.6. Выведите формулу индукции магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
5.7. Чему равно отношение значений магнитной индукции внутри бесконечно длинного соленоида и на срезе полубесконечного соленоида?
5.8. Каков источник систематической погрешности?
6.Литература
6.1. Калашников.-М.:Наука, 1977.
6.2. Сивухин курс физики.-М.: Наука, 1977.
6.3. Матвеев и магнетизм. -М.: Высшая школа, 1991.
6.4. , Малов общей физики: Электричество и магнетизм.-М.: Просвещение, 1980.
Соленоид – катушка, длина которой значительно превышает толщину (проводник, навитый на цилиндр). Опыт и расчет показывает, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция МП снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида МП снаружи отсутствует вообще.
1 этап . Из соображений симметрии ясно, что линии вектора направлены вдоль его оси, причем составляет с направлением тока в соленоиде правовинтовую систему.
2 этап. Выбираем контур L в виде прямоугольника 1-2-3-4-1, как показано на рис. 6 (одна из сторон которого параллельна оси соленоида и располагается внутри него).
Рис. 6
Рассчитаем циркуляцию по данному контуру:
где - длина стороны 1-2 контура. На сторонах 2-3, 3-4 и 4-1 интеграл обращается в ноль, т.к. внутри соленоида , а за его пределами .
3 этап. Рассчитаем суму токов, охватываемых контуром , где – число витков на стороне контура 1-2. Выбираем знак «+», т.к. направление тока и обхода контура связано правилом правого винта.
4 этап.
Использую т о циркуляции, находим модуль вектора : 
, откуда
, (1.20)
где – число витков на единицу длины соленоида.
Магнитное поле тороида Тороид – кольцевая катушка с витками, намотанными на сердечник, имеющий форму тора.
здесь N - число витков в тороидальной катушке, – радиус осевой линии тороида (т.е. окружности, проходящей через центры витков).
Вне тороида МП отсутствует.
§ 5. Сила Ампера
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Действие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате магнитное поле (МП) действует с определенной силой на сам проводник с током. Силы, действующие на токи в МП, называют силами Ампера.
Закон Ампера определяет силу , с которой магнитное поле действует на элемент проводника с током :
Интегрируя это выражение по элементам тока, можно найти силу Ампера, действующую на тот или иной участок проводника.
Направление силы удобно определять по правилу левой руки (рис.).
Рис. Правило левой руки.
Сила взаимодействия параллельных токов.
2 параллельных бесконечно длинных проводника с токами и находятся на расстоянии . На единицу длины проводника с током действует сила 
.
Нетрудно убедиться, что токи, одинаково направленные, притягиваются, а противоположно направленные –отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе! Нельзя забывать, что кроме магнитной имеется еще и электрическая сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности проводников. Поэтому если говорить о полной силе взаимодействия проводников, то она может быть как отталкивающей, так и притягивающей в зависимости от соотношения магнитной и электрической составляющих.
§ 6. Момент сил, действующих на контур с током
, (7)
С другой стороны единица магнитной индукции (тесла) может быть установлена по формуле (5):
[
В
]
= , (8)
Перемножив выражения (7) и (8), получим:
[
В
]
2
= 
×
= 
= 
, (9)
Тогда заменив единицы измерения в выражении (9) физическими величинами, получим формулу для индукции поля соленоида, созданного переменным током:
В 2
= ,
отсюда В
= , (10)
где
V
- объём соленоида,
Р
– мощность переменного тока.
Таким образом, индукция магнитного поля соленоида увеличивается при увеличении мощности переменного тока и уменьшается при увеличении объёма соленоида.
Задача 1. Магнитная индукция поля внутри соленоида, состоящего из 2000 витков диаметра 2,8см, подключённого к источнику переменного тока с частотой 50Гц, равна 0,72мТл. Каково индуцированное в соленоиде напряжение?
| Дано: | СИ: | Решение: |
| N = 2000 витков d = 2,8 см В = 0,72 мТл n = 50 Гц | = 2,8 × 10 -2 м =0,72 × 10 -3 Тл | Индукция поля соленоида определяется формулой:
В
= , (1)
Учитывая, что
S
= , (2)
и, используя выражения (1) и (2), найдём
 . (3)
|
| U – ? | ||
| Подставляя исходные данные в выражение (3), получим: = 0,278 В. | ||
| Ответ: U = 0,278 В. | ||
| Дано: | СИ: | Решение: |
| U = 0,2 В d = 2,8 см В = 0,52 мТл n = 50 Гц | = 2,8 × 10 -2 м =0,52 × 10 -3 Тл | Индукция поля соленоида выражается формулой:
В
= , (1)
Учитывая, что
S
= , (2)
и, используя выражения (1) и (2), получим
 . (3)
|
| N – ? | ||
| Подставляя исходные данные в выражение (3), получим: витков | ||
| Ответ: N = 2000 витков. | ||
| Дано: | СИ: | Решение: |
| B = 0,72 мТл n = 50 Гц µ о =1,256 × 10 -6 V = 6,15 × 10 -5 м 3 N = 400 витков | =0,72 × 10 -3 Тл | Индукция поля соленоида определяется по формуле (10):
В
= , отсюда
Р
= .
Подставляя исходные данные, получим: 
|
| P – ? | ||
| » 3,2 мкВт. Ответ: Р » 3,2 мкВт. | ||