В инженерной практике случается, что возникает необходимость вычислить координаты центра тяжести сложной плоской фигуры, состоящей из простых элементов, для которых расположение центра тяжести известно. Такая задача является частью задачи определения...
Геометрических характеристик составных поперечных сечений балок и стержней. Часто с подобными вопросами приходится сталкиваться инженерам-конструкторам вырубных штампов при определении координат центра давления, разработчикам схем погрузки различного транспорта при размещении грузов, проектировщикам строительных металлических конструкций при подборе сечений элементов и, конечно, студентам при изучении дисциплин «Теоретическая механика» и «Сопротивление материалов».
Библиотека элементарных фигур.
Для симметричных плоских фигур центр тяжести совпадает с центром симметрии. К симметричной группе элементарных объектов относятся: круг, прямоугольник (в том числе квадрат), параллелограмм (в том числе ромб), правильный многоугольник.
Из десяти фигур, представленных на рисунке выше, только две являются базовыми. То есть, используя треугольники и сектора кругов, можно скомбинировать почти любую фигуру, имеющую практический интерес. Любые произвольные кривые можно, разбив на участки, заменить дугами окружностей.
Оставшиеся восемь фигур являются самыми распространенными, поэтому они и были включены в эту своеобразную библиотеку. В нашей классификации эти элементы не являются базовыми. Прямоугольник, параллелограмм и трапецию можно составить из двух треугольников. Шестиугольник – это сумма из четырех треугольников. Сегмент круга — это разность сектора круга и треугольника. Кольцевой сектор круга — разность двух секторов. Круг – это сектор круга с углом α=2*π=360˚. Полукруг – это, соответственно, сектор круга с углом α=π=180˚.
Расчет в Excel координат центра тяжести составной фигуры.
Передавать и воспринимать информацию, рассматривая пример, всегда легче, чем изучать вопрос на чисто теоретических выкладках. Рассмотрим решение задачи «Как найти центр тяжести?» на примере составной фигуры, изображенной на рисунке, расположенном ниже этого текста.
Составное сечение представляет собой прямоугольник (с размерами a 1 =80 мм, b 1 =40 мм), к которому слева сверху добавили равнобедренный треугольник (с размером основания a 2 =24 мм и высотой h 2 =42 мм) и из которого справа сверху вырезали полукруг (с центром в точке с координатами x 03 =50 мм и y 03 =40 мм, радиусом r 3 =26 мм).
В помощь для выполнения расчета привлечем программу MS Excel или программу OOo Calc . Любая из них легко справится с нашей задачей!
В ячейках с желтой заливкой выполним вспомогательные предварительные расчеты .
В ячейках со светло-желтой заливкой считаем результаты .
Синий шрифт – это исходные данные .
Черный шрифт – это промежуточные результаты расчетов .
Красный шрифт – это окончательные результаты расчетов .
Начинаем решение задачи – начинаем поиск координат центра тяжести сечения.
Исходные данные:
1. Названия элементарных фигур, образующих составное сечение впишем соответственно
в ячейку D3: Прямоугольник
в ячейку E3: Треугольник
в ячейку F3: Полукруг
2. Пользуясь представленной в этой статье «Библиотекой элементарных фигур», определим координаты центров тяжести элементов составного сечения xci и yci в мм относительно произвольно выбранных осей 0x и 0y и запишем
в ячейку D4: =80/2= 40,000
xc 1 = a 1 /2
в ячейку D5: =40/2=20,000
yc 1 = b 1 /2
в ячейку E4: =24/2=12,000
xc 2 = a 2 /2
в ячейку E5: =40+42/3=54,000
yc 2 = b 1 + h 2 /3
в ячейку F4: =50=50,000
xc 3 = x 03
в ячейку F5: =40-4*26/3/ПИ()=28,965
yc 3 = y 03 -4* r3 /3/ π
3. Рассчитаем площади элементов F 1 , F 2 , F 3 в мм2, воспользовавшись вновь формулами из раздела «Библиотека элементарных фигур»
в ячейке D6: =40*80=3200
F 1 = a 1 * b 1
в ячейке E6: =24*42/2=504
F2 = a2 *h2 /2
в ячейке F6: =-ПИ()/2*26^2=-1062
F3 = -π/2*r3 ^2
Площадь третьего элемента – полукруга – отрицательная потому, что это вырез – пустое место!
Расчет координат центра тяжести:
4. Определим общую площадь итоговой фигуры F 0 в мм2
в объединенной ячейке D8E8F8: =D6+E6+F6=2642
F 0 = F 1 + F 2 + F 3
5. Вычислим статические моменты составной фигурыSx и Sy в мм3 относительно выбранных осей 0x и 0y
в объединенной ячейке D9E9F9: =D5*D6+E5*E6+F5*F6=60459
Sx = yc1 * F1 + yc2 *F2 + yc3 *F3
в объединенной ячейке D10E10F10: =D4*D6+E4*E6+F4*F6=80955
Sy = xc1 * F1 + xc2 *F2 + xc3 *F3
6. И в завершение рассчитаем координаты центра тяжести составного сеченияXc и Yc в мм в выбранной системе координат 0x — 0y
в объединенной ячейке D11E11F11: =D10/D8=30,640
Xc = Sy / F 0
в объединенной ячейке D12E12F12: =D9/D8=22,883
Yc =Sx /F0
Задача решена, расчет в Excel выполнен — найдены координаты центра тяжести сечения, составленного при использовании трех простых элементов!
Заключение.
Пример в статье был выбран очень простым для того, чтобы легче было разобраться в методологии расчетов центра тяжести сложного сечения. Метод заключается в том, что любую сложную фигуру следует разбить на простые элементы с известными местами расположения центров тяжести и произвести итоговые вычисления для всего сечения.
Если сечение составлено из прокатных профилей – уголков и швеллеров, то их нет необходимости разбивать на прямоугольники и квадраты с вырезанными круговыми «π/2»- секторами. Координаты центров тяжести этих профилей приведены в таблицах ГОСТов, то есть и уголок и швеллер будут в ваших расчетах составных сечений базовыми элементарными элементами (о двутаврах, трубах, прутках и шестигранниках говорить нет смысла – это центрально симметричные сечения).
Расположение осей координат на положение центра тяжести фигуры, конечно, не влияет! Поэтому выбирайте систему координат, упрощающую вам расчеты. Если, например, я развернул бы в нашем примере систему координат на 45˚ по часовой стрелке, то вычисление координат центров тяжести прямоугольника, треугольника и полукруга превратилось бы в еще один отдельный и громоздкий этап расчетов, который «в уме» не выполнишь.
Представленный ниже расчетный файл Excel в данном случае программой не является. Скорее – это набросок калькулятора, алгоритм, шаблон по которому следует в каждом конкретном случае составлять свою последовательность формул для ячеек с яркой желтой заливкой .
Итак, как найти центр тяжести любого сечения вы теперь знаете! Полный расчет всех геометрических характеристик произвольных сложных составных сечений будет рассмотрен в одной из ближайших статей в рубрике « ». Следите за новостями на блоге.
Для получения информации о выходе новых статей и для скачивания рабочих файлов программ прошу вас подписаться на анонсы в окне, расположенном в конце статьи или в окне вверху страницы.
После ввода адреса своей электронной почты и нажатия на кнопку «Получать анонсы статей» НЕ ЗАБЫВАЙТЕ ПОДТВЕРЖДАТЬ ПОДПИСКУ кликом по ссылке в письме, которое тут же придет к вам на указанную почту (иногда - в папку « Спам» )!
Несколько слов о бокале, монете и двух вилках, которые изображены на «значке-иллюстрации» в самом начале статьи. Многим из вас, безусловно, знаком этот «трюк», вызывающий восхищенные взгляды детей и непосвященных взрослых. Тема этой статьи – центр тяжести. Именно он и точка опоры, играя с нашим сознанием и опытом, попросту дурачат наш разум!
Центр тяжести системы «вилки+монета» всегда располагается на фиксированном расстоянии по вертикали вниз от края монеты, который в свою очередь является точкой опоры. Это положение устойчивого равновесия! Если покачать вилки, то сразу становится очевидным, что система стремится занять свое прежнее устойчивое положение! Представьте маятник – точка закрепления (=точка опоры монеты на кромку бокала), стержень-ось маятника (=в нашем случае ось виртуальная, так как масса двух вилок разведена в разные стороны пространства) и груз внизу оси (=центр тяжести всей системы «вилки+монета»). Если начать отклонять маятник от вертикали в любую сторону (вперед, назад, налево, направо), то он неизбежно под действием силы тяжести будет возвращаться в исходное устойчивое состояние равновесия (это же самое происходит и с нашими вилками и монетой)!
Кто не понял, но хочет понять – разберитесь самостоятельно. Это ведь очень интересно «доходить» самому! Добавлю, что этот же принцип использования устойчивого равновесия реализован и в игрушке ванька–встань-ка. Только центр тяжести у этой игрушки расположен выше точки опоры, но ниже центра полусферы опорной поверхности.
Всегда рад вашим комментариям, уважаемые читатели!!!
Прошу, УВАЖАЯ труд автора, скачивать файл ПОСЛЕ ПОДПИСКИ на анонсы статей.
Как найти центр тяжести
Автор : Возьмем тело произвольной формы. Можно ли подвесить его на нити так, чтобы оно после подвешивания сохранило свое положение (т.е. не стало поворачиваться) при любой начальной ориентации (рис. 27.1)?
Иными словами, существует ли такая точка, относительно которой сумма моментов сил тяжести, действующих на различные части тела, была бы равна нулю при любой ориентации тела в пространстве?
Читатель : По-моему, да. Такая точка называется центром тяжести тела.
Доказательство. Для простоты рассмотрим тело в виде плоской пластины произвольной формы произвольным образом ориентированное в пространстве (рис. 27.2). Возьмем систему координат х 0у с началом в центре масс – точке С , тогда х С = 0, у С = 0.
Представим это тело в виде совокупности большого числа точечных масс m i
, положение каждой из которых задается радиусом-вектором .
По определению центра масс , а координата х С = .
Так как в принятой нами системе координат х С = 0, то . Умножим это равенство на g и получим
Как видно из рис. 27.2, |x i | – это плечо силы . Причем если х i > 0, то момент силы M i > 0, а если х j < 0, то M j < 0, поэтому с учетом знака можно утверждать, что для любого x i момент силы будет равен M i = m i gx i . Тогда равенство (1) эквивалентно равенству , где M i – момент силы тяжести . А это значит, что при произвольной ориентации тела сумма моментов сил тяжести, действующих на тело, будет равна нулю относительно его центра масс.
Чтобы рассматриваемое нами тело находилось в равновесии, к нему необходимо приложить в точке С силу Т = mg , направленную вертикально вверх. Момент этой силы относительно точки С равен нулю.
Поскольку наши рассуждения никак не зависели от того, как именно ориентировано тело в пространстве, мы доказали, что центр тяжести совпадает с центром масс, что и требовалось доказать.
Задача 27.1. Найти центр тяжести невесомого стержня длины l , на концах которого укреплены две точечные массы т 1 и т 2 .
| т 1 т 2 l | Решение. Будем искать не центр тяжести, а центр масс (так как это одно и то же). Введем ось х
(рис. 27.3).
 Рис. 27.3
|
| х С = ? | |
Ответ : на расстоянии от массы т 1 .
СТОП! Решите самостоятельно: В1–В3.
Утверждение 1. Если однородное плоское тело имеет ось симметрии, центр тяжести находится на этой оси.
Действительно, для всякой точечной массы m i , расположенной справа от оси симметрии, найдется такая же точечная масса , расположенная симметрично относительно первой (рис. 27.4). При этом сумма моментов сил .
Поскольку все тело можно представить разбитым на подобные пары точек, то суммарный момент сил тяжести относительно любой точки, лежащей на оси симметрии равен нулю, а значит, на этой оси находится и центр тяжести тела. Отсюда следует важный вывод: если тело имеет несколько осей симметрии, то центр тяжести лежит на пересечении этих осей (рис. 27.5).
Рис. 27.5 
Утверждение 2 . Если два тела массами т 1 и т 2 соединены в одно, то центр тяжести такого тела будет лежать на отрезке прямой, соединяющей центры тяжести первого и второго тела (рис. 27.6).
Рис. 27.6 
Рис. 27.7
Доказательство. Расположим составное тело так, чтобы отрезок, соединяющий центры тяжести тел был вертикальным. Тогда сумма моментов сил тяжести первого тела относительно точки С 1 равна нулю, и сумма моментов сил тяжести второго тела относительно точки С 2 равна нулю (рис. 27.7).
Заметим, что плечо силы тяжести любой точечной массы т i одно и то же относительно любой точки, лежащей на отрезке С 1 С 2 , а значит, и момент силы тяжести относительно любой точки, лежащей на отрезке С 1 С 2 , один и тот же. Следовательно, сил тяжести всего тела равен нулю относительно любой точки отрезка С 1 С 2 . Таким образом, центр тяжести составного тела лежит на отрезке С 1 С 2 .
Из утверждения 2 следует важный практический вывод, который четко сформулирован в виде инструкции.
Инструкция,
как искать центр тяжести твердого тела, если его можно разбить
на части, положения центров тяжести каждой из которых известно
1. Следует заменить каждую часть массой, расположенной в центре тяжести этой части.
2. Найти центр масс (а это то же самое, что и центр тяжести) полученной системы точечных масс, выбрав удобную систему координат х 0у , по формулам:
В самом деле, расположим составное тело так, чтобы отрезок С 1 С 2 был горизонтальным, и подвесим его на нитях в точках С 1 и С 2 (рис. 27.8,а ). Ясно, что тело будет находиться в равновесии. И это равновесие не нарушится, если мы заменим каждое тело точечными массами т 1 и т 2 (рис. 27.8,б ).
Рис. 27.8
СТОП! Решите самостоятельно: С3.
Задача 27.2. В двух вершинах равностороннего треугольника помещены шарики массы т каждый. В третьей вершине помещен шарик массы 2т (рис. 27.9,а ). Сторона треугольника а . Определить центр тяжести этой системы.
| т 2т а | 
Рис. 27.9
|
| х С = ? у С = ? | |
Решение . Введем систему координат х 0у (рис. 27.9,б ). Тогда
,
.
Ответ : х С = а /2; ; центр тяжести лежит на половине высоты АD .
Инструкция
Попробуйте определить центр тяжести плоской фигуры опытным путем. Возьмите новый незаточенный карандаш, поставьте его вертикально. Сверху на него поместите плоскую фигуру. Отметьте на фигуре точку, в которой она устойчиво держится на карандаше. Это и будет центр тяжести вашей фигуры . Вместо карандаша использовать просто вытянутый вверх указательный палец. Но это , ведь надо добиться того, чтобы палец стоял ровно, не раскачивался и не дрожал.
Для демонстрации того, что полученная точка и есть центр масс, проделайте в ней иголкой дырочку. Проденьте в отверстие нитку, на одном из концов завяжите узелок − так, чтобы нитка не выскакивала. Держась за другой конец нитки, подвесьте тело на ней. Если центр тяжести верно, фигура расположится ровно, параллельно полу. Ее бока не будут раскачиваться.
Найдите центр тяжести фигуры геометрическим путем. Если у вас дан треугольник, постройте в нем . Эти отрезки соединяют вершины треугольника с серединой противоположной стороны. Точка станет центром масс треугольника. Чтобы найти срединную точку стороны, можно даже сложить фигуру пополам, но учтите, что при этом нарушится однородность фигуры .
Сравните результаты, полученные геометрическим и опытным путем. Сделайте о ходе эксперимента. Небольшие погрешности считаются нормой. Объясняются они неидеальностью фигуры , неточностью приборов, человеческим фактором (мелкими огрехами в работе, несовершенством человеческого глаза и т.д.).
Источники:
- Вычисление координат центра тяжести плоской фигуры
Центр фигуры можно найти несколькими способами, смотря какие данные о ней уже известны. Стоит разобрать нахождение центра окружности, которая является совокупностью точек, располагающихся на равном расстоянии от центра, так как эта фигура - одна из наиболее распространенных.
Вам понадобится
- - угольник;
- - линейка.
Инструкция
Простейший способ найти центр окружности – согнуть листок бумаги, на котором она начерчена, убедившись, глядя на просвет, что она сложилась точно пополам. Затем согните лист перпендикулярно первому сгибу. Так вы получите диаметры, точка пересечения которых и есть центр фигуры.
Допустим, рассматриваемую фигуру начертили на твердой, несгибаемой поверхности либо это отдельная деталь, которая также не поддается сгибу. Чтобы найти центр окружности в этом случае, вам нужна линейка.
Диаметр является самым длинным отрезком, соединяющим 2 точки окружности. Как известно, проходит он через центр, поэтому задача нахождения центра окружности сводится к нахождению диаметра и его середины.
Наложите линейку на окружность, после чего зафиксируйте в любой точке фигуры нулевую отметку. Приложите линейку к окружности, получив секущую, а затем двигайте по направлению к центру фигуры. Длина секущей будет возрастать, пока не дойдет до пиковой точки. Вы получите диаметр, а найдя его середину, найдете и центр окружности.
Центр описанной окружности для любого треугольника располагается на пересечении срединных перпендикуляров. В случае, если треугольник прямоугольный, ее центр всегда будет совпадать с серединой гипотенузы. То есть решение кроется в построении внутри окружности прямоугольного треугольника с вершинами, лежащими на окружности.
Трафаретом для прямого угла могут послужить школьный или строительный угольник, линейка или даже лист бумаги/картона. Поместите в любую точку окружности вершину прямого угла, сделайте отметки в тех местах, где стороны угла пересекают границу окружности, соедините их. У вас получился диаметр – гипотенуза.
Таким же способом найдите еще один диаметр, место пересечения двух таких отрезков и будет центром окружности.
Видео по теме
Еще в школе на уроках физики мы впервые знакомимся с таким понятием, как центр тяжести. Задача не из легких, но хорошо объяснима и понятна. Не только юному физику понадобится знать определение центра тяжести. И если вы столкнулись с данной задачей, стоит прибегнуть к подсказкам и напоминаниям, дабы обновить свою память.
Инструкция
Проштудировав учебники физики, механики, словари или энциклопедии, вы наткнетесь на центра тяжести или как называют центр масс.
В разных науках немного разные определения, но суть, фактически, не теряется. Центр тяжести всегда находится в центре симметрии тела. Для более наглядного понятия «центр тяжести (или по другому называют центр масс) - это , что неизменно связанна с твердым телом. Через неё проходит равнодействующая сил тяжести, действующие на частицу данного тела при любом его положение».
Если центр тяжести твердого тела - это точка, значит она должна иметь свои координаты.
Для определения важно знать координаты по x, y, z, i-той части тела и вес, обозначающийся буквой - p.
Рассмотрим пример задачи.
Даны два тела различных масс m1 и m2,на которые действуют разные весовые силы (как изображено на рисунке). Записав веса:
P1= m1*g, Р2= m2*g;
Центр тяжести находится между двумя массами. И если все тело подвесить в т.О, наступит значение равновесие, то есть эти перестанут перевешивать друг друга.
Разнообразные геометрические фигуры имеют физические и расчеты по поводу центра тяжести. К каждому свой подход и свой метод.
Рассматривая диск, уточняем, что центр тяжести находится внутри него, точнее диаметров (как показано на рисунке в т.С - точка пересечение диаметров). Таким же способом находят центры параллелепипеда или однородного шара.
Представленный диск и два тела с массами m1 и m2 - однородной массы и правильной формы. Здесь можно отметить, что искомый нами центр тяжести находится внутри этих предметов. Однако, в телах с неоднородной массой и неправильной формы центр может находится за . Чувствуете сами, что задача уже становится сложнее.
Мода на «женщин, которые похожи на мальчиков» уже давно прошла, но многие представительницы слабого пола хотят до сих пор обладать плоской попой. Хотя на сегодняшний день «в моде» демонстрировать всю цветущую сексуальность, гармоничное, красивое и тренированное тело. Ведь именно в таком случае, красивая попка является непременной составляющей не только женской, но также и мужской красоты.
Инструкция
Для того, чтобы попу плоской, необходимо выполнять следующие . 1 упражнение "Поднимание ног".Это упражнение можете в нескольких вариантах.Встаньте на четвереньки - в исходное положение, а затем делайте поочередно подъемы каждой ноги, чтобы бедро было параллельно полу. Зафиксируйте ногу в прижатом положении к и производите пружинящие движения наверх. При этом, обратите внимание на фиксацию вашей ноги в голеностопном, а также коленном суставе, старайтесь данное положение не изменять.
2 упражнение "Поднятие таза".Лягте на , руки расположите параллельно телу, а ноги согните в коленях. После этого приподнимите таз от пола, сильно напрягая ягодицы. При этом верхняя часть и руки от пола не должны отрываться.В таком же положении сделайте пружинистых движений наверх.
3 упражнение "Поднятие ".Встаньте, ноги расположите на ширине плеч. Попеременно поднимайте и опускайте по одному колену как можно выше. При поднятии колена старайтесь как можно дольше удержаться, не двигаясь, на одной ноге.Этим упражнением очень хорошо прорабатывается зона, которая находится чуть выше попы.
4 упражнение "Приседание с отведением таза".Встаньте так, чтобы ноги были шире плеч, а стопы параллельно им. В этом случае левая нога должна быть немного позади правой. Затем присядьте, опираясь на левую ногу и отводя таз назад. При этом руки протяните перед левой стопой, спину держите прямой. После этого встаньте, перенесите весь вес на правую ногу, левую отведите назад и поднимите руки над головой.Данное упражнение повторите 10 раз, затем смените ногу.
5 упражнение "Выпады колесом".Сделайте выпад вперед, начиная с левой ноги, чуть разверните стопу по часовой стрелке. Затем наклонитесь вперед от бедра. При этом широко разведите руки, словно хотите сделать колесо. Задержитесь на несколько секунд в этом положении, затем встаньте, сохранив положение правой ноги. Левой совершите шаг влево и разверните наружу мысок. Присядьте и наклонитесь влево.
Видео по теме
Источники:
- плоские попы в 2019
В обыденном смысле центр тяжести воспринимают как точку, к которой можно приложить равнодействующую всех сил, действующих на тело. Самый простой пример - это детские качели в виде обычной доски. Без всяких вычислений любой ребенок подберет опору доски так, чтобы уравновесить (а может, и перевесить) на качелях тяжелого мужчину. В случае сложных тел и сечений без точных расчетов и соответствующих формул не обойтись. Даже если получаются громоздкие выражения, главное - не пугаться их, а помнить, что исходно речь идет о практически элементарной задаче.
Инструкция
Рассмотрите простейший рычаг (см. рис 1), находящийся в положении равновесия. Расположите на горизонтальной оси с абсциссой х₁₂ и поместите на краях материальные точки масс m₁ и m₂. Считайте их координаты по оси 0х известными и равными х₁ и х₂. Рычаг находится в положении равновесия, если моменты сил веса Р₁=m₁g и P₂=m₂g равны. Момент равен произведению силы на ее плечо, которое можно найти как длину перпендикуляра опущенного из точки приложения силы на вертикаль х=х₁₂. Поэтому, в соответствии с рисунком 1, m₁gℓ₁= m₂gℓ₂, ℓ₁=х₁₂-х₁, ℓ₂=х₂-х₁₂. Тогда m₁(х₁₂-х₁)=m₂(х₂-х₁₂). Решите это уравнение и получите х₁₂=(m₁x₁+m₂x₂)/(m₁+m₂).
Для выяснения ординаты y₁₂ примените те же самые рассуждения и выкладки, как и на шаге 1. По-прежнему следуйте иллюстрации, приведенной на рисунке 1, где m₁gh₁= m₂gh₂, h₁=y₁₂-y₁, h₂=y₂-y₁₂. Тогда m₁(y₁₂-y₁)=m₂(y₂-y₁₂). Результат - у₁₂=(m₁у₁+m₂у₂)/(m₁+m₂). Далее считайте, что вместо системы из двух точек имеется одна точка М₁₂(x12,у12) общей массы (m₁+m₂).
К системе из двух точек добавьте еще одну массу (m₃) с координатами (х₃, у₃). При вычислении следует по-прежнему считать, что имеете дело с двумя точками, где вторая из них имеет массу (m₁+m₂) и координаты (x12,у12). Повторяя уже для этих двух точек все действия шагов 1 и 2, придете к центра трех точек x₁₂₃=(m₁x₁+m₂x₂+m₃x₃)/(m₁+m₂+m₃), у₁₂₃=(m₁у₁+m₂у₂+m₃y₃)/(m₁+m₂+m₃). Далее добавляйте четвертую, пятую и так далее точки. После многократного повторения все той же процедуры убедитесь, что для системы n точек координаты центра тяжести вычисляются по формуле (см. рис. 2). Отметьте для себя тот факт, что в процессе работы ускорение свободного падения g сокращалось. Поэтому координаты центра масс и тяжести совпадают.
Представьте себе, что в рассматриваемом сечении расположена некоторая область D, поверхностная плотность которой ρ=1. Сверху и снизу фигура ограничена графиками кривых у=φ(х) и у=ψ(х), х є [а,b]. Разбейте область D вертикалями x=x₍i-1₎, x=x₍i₎ (i=1,2,…,n) на тонкие полоски, такие, что их можно приблизительно считать прямоугольниками с основаниями ∆хi (см. рис. 3). При этом середину отрезка ∆хi считайте положите совпадающим с абсциссой центра масс ξi=(1/2). Высоту прямоугольника считайте приблизительно равной [φ(ξi)-ψ(ξi)]. Тогда ордината центра масс элементарной площади ηi=(1/2)[φ(ξi)+ψ(ξi)].
В силу равномерного распределения плотности считайте, что центр масс полоски совпадет с ее геометрическим центром. Соответствующая элементарная масса ∆mi=ρ[φ(ξi)-ψ(ξi)]∆хi=[φ(ξi)-ψ(ξi)]∆хi сосредоточена в точке (ξi,ηi). Наступил момент обратного перехода от массы, представленной в дискретной форме, к непрерывной. В соответствии с формулами вычисления координат (см. рис. 2) центра тяжести образуются интегральные суммы, проиллюстрированные на рисунке 4а. При предельном переходе при ∆xi→0 (ξi→xi) от сумм к определенным интегралам, получите окончательный ответ (рис. 4b). В ответе масса отсутствует. Равенство S=M следует понимать лишь как количественное. Размерности здесь отличны друг от друга.
Инструкция
Следует учитывать, что положение центра масс напрямую зависит от того, каким образом распределена по объему тела его масса. Центр масс может даже не находиться в самом теле, примером такого объекта может служить однородное кольцо, у которого центр масс находится в его геометрическом центре. То есть – . При расчетах центр масс можно расценивать математической точкой, в которой сосредоточена вся масса тела.
Здесь R.ц.м. – радиус-вектор центра масс, mi – масса i-той точки, ri – радиус-вектор i-той точки системы. На практике во многих случаях легко найти центр масс, если предмет имеет некую строгую геометрическую форму. Например, у однородного стержня он находится точно посередине. У параллелограмма - на пересечении диагоналей, у треугольника это точка , а у правильного многоугольника центр масс находится в центре поворотной симметрии.
Для более сложных тел задача расчета усложняется, в этом случае необходимо разбить объект на однородные объемы. Для каждого из них отдельно центры масс, после чего найденные значения подставляются в соответствующие формулы и находится итоговое значение.
На практике необходимость определения центра масс (центра тяжести) обычно связана с конструкторскими работами. Например, при проектировании судна важно обеспечить его остойчивость. Если центр тяжести будет находиться очень , то может опрокинуться. Как рассчитать нужный параметр для такого сложного объекта, как судно? Для этого находятся центры тяжести его отдельных элементов и агрегатов, после чего найденные значения складываются с учетом их месторасположения. При конструировании центр тяжести обычно стараются расположить как можно ниже, поэтому наиболее тяжелые агрегаты располагают в самом низу.
Источники:
- Центр масс
- Решение задач по физике
Центр масс – важнейшая геометрическая и техническая характеристика тела. Без вычисления его координат невозможно представить конструирование в машиностроении, решение задач строительства и архитектуры. Точное определение координат центра массы производится с помощью интегрального исчисления.
Инструкция
Начинать всегда следует от , постепенно переходя к более сложным ситуациям. Исходите из того, что определению подлежит центр массы непрерывной плоской фигуры D, которой ρ постоянна и равномерно распределена в ее пределах. Аргумент х изменяется от а до b, y от c до d. Разбейте фигуру сеткой вертикальных (x=x(i-1), x=xi (i=1,2,…,n)) и горизонтальных прямых (y=y(j-1), y=xj (j=1,2,…,m)) на элементарные прямоугольники с основаниями ∆хi=xi-x(i-1) и высотами ∆yj=yj-y(j-1) (см. рис. 1). При этом середину элементарного отрезка ∆хi найдите как ξi=(1/2), а высоту ∆yj как ηj=(1/2). Поскольку плотность распределяется равномерно, то центр массы элементарного прямоугольника совпадет с ее геометрическим центром. То есть Хцi=ξi, Yцi=ηj.
Массу М плоской фигуры (если она неизвестна), вычислите как произведение на площадь. Замените элементарную площадь на ds=∆хi∆yj=dxdy. Представьте ∆mij в виде dM=ρdS=ρdxdy и получите ее массу по формуле, приведенной на рисунке. 2a. При малых приращениях считайте, что ∆mij, сосредоточена в материальной точке с координатами Хцi=ξi, Yцi=ηj. Из задач известно, что каждая координата центра масс системы материальных точек равна дроби, числитель которой сумму статических моментов масс mν относительно соответствующей оси, а равен сумме этих масс. Статический момент массы mν, относительно оси 0х равен уν*mν, а относительно 0у хν*mν.
Примените это к рассматриваемой ситуации и получите приблизительные значения статических моментов Јх и Ју в виде Ју≈{∑ξνρ∆xν∆yν}, Јх≈{∑ηνρ∆xν∆yν} (суммирование производилось по ν от 1 до N). Входящие в последнее выражения суммы являются интегральными. Перейдите к пределам от них при ∆хν→0 ∆yν→0 и запишите окончательные (см. рис. 2b). Координаты центра масс находите делением соответствующего статистического момента на общую массу фигуры М.
Методология получения координат центра масс пространственной фигуры G отличается лишь тем, что возникают тройные интегралы, а статические моменты рассматриваются относительно координатных плоскостей. Не следует забывать и что плотность не обязательно постоянна, то есть ρ(x,y,z)≠const. Поэтому окончательный и самйы общий имеет вид (см. рис. 3).
Источники:
- Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т.2., М.: 1976, 576 с., ил.
Закон всемирного тяготения, открытый Ньютоном в 1666 году и опубликованный в 1687 году, гласит, что все тела, обладающие массой, притягиваются друг к другу. Математическая формулировка позволяет не только установить сам факт взаимного притяжения тел, но и измерить его силу.
Инструкция
Еще до Ньютона многие высказывали предположения о существовании всемирного тяготения. С самого начала им было очевидно, что притяжение между любыми двумя телами должно зависеть от их массы и ослабевать с расстоянием. Иоганн Кеплер, первым описавший эллиптические орбиты Солнечной системы, считал, что Солнце притягивает с силой, обратно пропорциональной расстоянию.
Окончательно закон всемирного тяготения формулируется так: любые два тела, обладающие массой, взаимно притягиваются, и сила их притяжения равна
F = G* ((m1*m2)/R^2),
где m1 и m2 - массы тел, R - расстояние , G - гравитационная постоянная.
Если тело, участвующее в тяготении, обладает приблизительно сферической формой, то расстояние R следует отмерять не от его поверхности, а от центра масс. Материальная точка с той же массой, находящаяся точно в центре, порождала бы точно такую же силу притяжения.
В частности, это значит, что, например, при расчете силы, с которой Земля притягивает стоящего на ней , расстояние R равно не нулю, а радиусу . На самом деле оно равно расстоянию между центром Земли и центром тяжести человека, но этой разницей можно пренебречь без потери точности.
Гравитационное притяжение всегда взаимно: не только Земля притягивает человека, но , в свою очередь, притягивает Землю. Из-за огромной разницы между массой человека планеты это незаметно. Аналогично и при расчетах траекторий космических аппаратов обычно пренебрегают тем, что аппарат притягивает к себе планеты и кометы.
Однако если массы взаимодействующих объектов сравнимы, то их взаимное притяжение становится заметным для всех участников. Например, с точки зрения физики не вполне верно говорить, что Луна вращается вокруг Земли. В действительности Луна и Земля вращаются вокруг общего центра масс. Поскольку наша планета намного больше своего естественного , то этот центр находится внутри нее, но все же с центром самой Земли не совпадает.
Видео по теме
Источники:
- Классная физика для любознательных - закон всемирного тяготения
Математика и физика, возможно, самые удивительные науки из доступных человеку. Описывая мир через вполне определенные и поддающиеся расчету законы, ученые могут «на кончике пера» получить значения, измерить которые, на первый взгляд, кажется невозможным.
Инструкция
Один из базовых законов физики – закон всемирного тяготения. Он гласит, что все тела притягиваются друг к другу с силой, равной F=G*m1*m2/r^2. При этом G является определенной константой (будет указана непосредственно во время расчета), m1 и m2 массы тел, а r –расстояние между ними.
Массу Земли можно вычислить на основе эксперимента. При помощи маятника и секундомера можно рассчитать ускорение свободного падения g (шаг будет опущен за несущественностью), равное 10 м/c^2. Согласно второму закону Ньютона F можно представить как m*a. Поэтому, для тела, притягивающегося к Земле: m2*a2=G*m1*m2/r^2, где m2 – масса тела, m1 – масса Земли, a2=g. После преобразований (сокращения m2 в обеих частях, переноса m1 влево, а a2 - вправо) уравнение примет следующий вид: m1=(ar)^2/G. Подстановка значений дает m1=6*10^27
Расчет массы Луны опирается на правило: от тел до центра масс системы обратно пропорциональны массам тел. Известно, что Земля и Луна обращаются вокруг некоторой точки (Цм), причем расстояния от центров до этой точки как 1/81,3. Отсюда Мл=Мз/81,3=7.35*10^25.
Дальнейшие вычисления опираются на 3-ий закон Кепплера, согласно которому (T1/T2)^2*(M1+Mc)/(M2+Mc)=(L1/L2)^3, где T – период обращения небесного тела вокруг Солнца , L – расстояние до последнего, M1, M2 и Mc – массы двух небесных тел и , соответственно. Составив уравнения для двух систем ( +луна – / земля - луна) можно увидеть, что одна часть уравнения получается общей, а значит, вторые можно приравнять.
Расчетной формулой в наиболее общем виде является Lз^3/(Tз^2*(Mc+Мз)=Lл^3/(Tл^2*(Mз+Мл). Массы небесных тел были вычислены теоретически, периоды обращения находятся практически, для расчета L используются исчисления либо практические методы. После упрощения и подстановки необходимых значений уравнение примет вид: Мс/Мз+Мл=329.390. Отсюда Мс=3,3*10^33.
Кинетическая энергия – это энергия механической системы, которая зависит от скоростей движения каждой из ее точек. Другими словами, кинетическая энергия представляет собой разницу между полной энергией и энергией покоя рассматриваемой системы, та часть полной энергии системы, которая обусловлена движением. Кинетическая энергия делится на энергию поступательного и вращательного движения. Единицей измерения кинетической энергии в системе СИ является Джоуль.
Инструкция
В случае поступательного движения все точки системы (тела) имеют одинаковые скорости движения, которые равны скорости движения центра масс тела. При этом кинетическая системы Тпост равна:
Tпост = ? (mk Vс2)/2,
где mk –масса тела, Vс – центра масс.Таким образом, при поступательном тела кинетическая энергия равна произведению массы тела на квадрат скорости центра масс, деленному на два. При этом значение кинетической не зависит от движения.
Исходя из полученных выше общих формул, можно указать конкретные способы определения координат центров тяжести тел.
1. Симметрия. Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии (рис.7), то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.
Рис.7
2. Разбиение. Тело разбивается на конечное число частей (рис.8), для каждой из которых положение центра тяжести и площадь известны.
Рис.8
3.Метод отрицательных площадей. Частный случай способа разбиения (рис.9). Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. Тело в виде пластинки с вырезом представляют комбинацией сплошной пластинки (без выреза) с площадью S 1 и площади вырезанной части S 2 .
Рис.9
4.Метод группировки. Является хорошим дополнением двух последних методов. После разбиения фигуры на составные элементы часть их бывает удобно объединить вновь, чтобы затем упростить решение путем учета симметрии этой группы.
Центры тяжести некоторых однородных тел.
1) Центр тяжести дуги окружности. Рассмотрим дугу АВ радиуса R с центральным углом . В силу симметрии центр тяжести этой дуги лежит на оси Ox (рис. 10).
Рис.10
Найдем координату по формуле . Для этого выделим на дуге АВ элемент ММ’ длиною , положение которого определяется углом . Координата х элемента ММ’ будет . Подставляя эти значения х и dl и имея в виду, что интеграл должен быть распространен на всю длину дуги, получим:
где L - длина дуги АВ , равная .
Отсюда окончательно находим, что центр тяжести дуги окружности лежит на ее оси симметрии на расстоянии от центра О , равном
где угол измеряется в радианах.
2) Центр тяжести площади треугольника. Рассмотрим треугольник, лежащий в плоскости Oxy , координаты вершин которого известны: A i (x i ,y i ), (i = 1,2,3). Разбивая треугольник на узкие полоски, параллельные стороне А 1 А 2 , придем к выводу, что центр тяжести треугольника должен принадлежать медиане А 3 М 3 (рис.11) .
Рис.11
Разбивая треугольник на полоски, параллельные стороне А 2 А 3 , можно убедиться, что он должен лежать на медиане А 1 М 1 . Таким образом, центр тяжести треугольника лежит в точке пересечения его медиан , которая, как известно, отделяет от каждой медианы третью часть, считая от соответствующей стороны.
В частности, для медианы А 1 М 1 получим, учитывая, что координаты точки М 1 - это среднее арифметическое координат вершин А 2 и А 3:
x c = x 1 + (2/3)∙(x М 1 - x 1) = x 1 + (2/3)∙[(x 2 + x 3)/2-x 1 ] = (x 1 + x 2 +x 3)/3.
Таким образом, координаты центра тяжести треугольника представляют собой среднее арифметическое из координат его вершин:
x c =(1/3)Σx i ; y c =(1/3)Σy i .
3) Центр тяжести площади кругового сектора. Рассмотрим сектор круга радиуса R с центральным углом 2α, расположенный симметрично относительно оси Ox (рис.12) .
Очевидно, что y c = 0, а расстояние от центра круга, из которого вырезан этот сектор, до его центра тяжести можно определить по формуле:
Рис.12
Проще всего этот интеграл вычислить, разбивая область интегрирования на элементарные секторы с углом d φ. С точностью до бесконечно малых первого порядка такой сектор можно заменить треугольником с основанием, равным R ×d φ и высотой R . Площадь такого треугольника dF =(1/2)R 2 ∙d φ, а его центр тяжести находится на расстоянии 2/3R от вершины, поэтому в (5) положим x = (2/3)R ∙cosφ. Подставляя в (5) F = αR 2 , получим:
С помощью последней формулы вычислим, в частности, расстояние до центра тяжести полукруга .
Подставляя в (2) α = π/2, получим: x c = (4R )/(3π) ≅ 0,4R .
Пример 1. Определим центр тяжести однородного тела, изображённого на рис. 13.
Рис.13
Тело однородное, состоящее из двух частей, имеющих симметричную форму. Координаты центров тяжести их:
Объёмы их:
Поэтому координаты центра тяжести тела
Пример 2. Найдем центр тяжести пластины, согнутой под прямым углом. Размеры – на чертеже (рис.14).
Рис.14
Координаты центров тяжести:
Площади:
|
Рис.15
В этой задаче удобнее разделить тело на две части: большой квадрат и квадратное отверстие. Только площадь отверстия надо считать отрицательной. Тогда координаты центра тяжести листа с отверстием:
координата 
так как тело имеет ось симметрии (диагональ).
Пример 4. Проволочная скобка (рис.16) состоит из трёх участков одинаковой длины l .
Рис.16
Координаты центров тяжести участков:
Поэтому координаты центра тяжести всей скобки:
Пример 5. Определить положение центра тяжести фермы, все стержни которой имеют одинаковую погонную плотность (рис.17).
Напомним, что в физике плотность тела ρ и его удельный вес g связаны соотношением: γ= ρg , где g - ускорение свободного падения. Чтобы найти массу такого однородного тела, нужно плотность умножить на его объем.
Рис.17
Термин «линейная» или «погонная» плотность означает, что для определения массы стержня фермы нужно погонную плотность умножить на длину этого стержня.
Для решения задачи можно воспользоваться методом разбиения. Представив заданную ферму в виде суммы 6 отдельных стержней, получим:
где L i длина i -го стержня фермы, а x i , y i - координаты его центра тяжести.
Решение этой задачи можно упростить, если сгруппировать 5 последних стержней фермы. Нетрудно видеть, что они образуют фигуру, имеющую центр симметрии, расположенный посредине четвертого стержня, где и находится центр тяжести этой группы стержней.
Таким образом, заданную ферму можно представить комбинацией всего двух групп стержней.
Первая группа состоит из первого стержня, для нее L 1 = 4 м, x 1 = 0 м, y 1 = 2 м. Вторая группа стержней состоит из пяти стержней, для нее L 2 = 20 м, x 2 = 3 м, y 2 = 2 м.
Координаты центра тяжести фермы находим по формуле:
x c = (L 1 ∙x 1 + L 2 ∙x 2)/(L 1 + L 2) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2 м;
y c = (L 1 ∙y 1 + L 2 ∙y 2)/(L 1 + L 2) = (4∙2 + 20∙2)/24 = 2 м.
Отметим, что центр С лежит на прямой, соединяющей С 1 и С 2 и делит отрезок С 1 С 2 в отношении: С 1 С /СС 2 = (x c - x 1)/(x 2 - x c ) = L 2 / L 1 = 2,5/0,5.
Вопросы для самопроверки
Что называется центром параллельных сил?
Как определяются координаты центра параллельных сил?
Как определить центр параллельных сил, равнодействующая которых равна нулю?
Каким свойством обладает центр параллельных сил?
По каким формулам вычисляются координаты центра параллельных сил?
Что называется центром тяжести тела?
Почему силы притяжения Земле, действующие на точку тела, можно принять за систему параллельных сил?
Запишите формулу для определения положения центра тяжести неоднородных и однородных тел, формулу для определения положения центра тяжести плоских сечений?
Запишите формулу для определения положения центра тяжести простых геометрических фигур: прямоугольника, треугольника, трапеции и половины круга?
Что называют статическим моментом площади?
Приведите пример тела, центр тяжести которого расположен вне тела.
Как используются свойства симметрии при определении центров тяжести тел?
В чем состоит сущность способа отрицательных весов?
Где расположен центр тяжести дуги окружности?
Каким графическим построением можно найти центр тяжести треугольника?
Запишите формулу, определяющую центр тяжести кругового сектора.
Используя формулы, определяющие центры тяжести треугольника и кругового сектора, выведите аналогичную формулу для кругового сегмента.
По каким формулам вычисляются координаты центров тяжести однородных тел, плоских фигур и линий?
Что называется статическим моментом площади плоской фигуры относительно оси, как он вычисляется и какую размерность имеет?
Как определить положение центра тяжести площади, если известно положение центров тяжести отдельных ее частей?
Какими вспомогательными теоремами пользуются при определении положения центра тяжести?