В числе кривых поверхностей - линейчатых и нелинейчатых - имеются широко распространенные в практике поверхности вращения. Поверхностью вращения называют поверхность, получаемую от вращения какой-либо образующей линии вокруг неподвижной прямой - оси поверхности 1).
Поверхность вращения можно задать образующей и положением оси. На рис. 330 показана такая поверхность. Здесь образующей служит кривая ABC, осью - прямая OO 1 , расположенная в одной плоскости с ABC. Каждая точка образующей описывает окружность. Таким образом, плоскость, перпендикулярная к оси поверхности вращения, пересекает эту поверхность по окружности. Такие окружно
1) В процессе образования поверхности вращения ось неподвижна.
сти называются параллелями . Наибольшую из параллелей называют экватором , наименьшую - горлом поверхности 1).
Плоскость, проходящую через ось поверхности вращения, называют меридиональной плоскостью . Линия пересечения поверхности вращения меридиональной плоскостью называется меридианом поверхности .
Можно назвать вершиной поверхности вращения точку пересечения меридиана этой поверхности с ее осью, если в пересечении не образуется прямой угол.
Если ось поверхности вращения параллельна пл. π 2 , то меридиан, лежащий в плоскости, параллельной пл. π 2 , называется главным меридианом . При таком положении главный меридиан проецируется на пл. тс 2 без искажения. Если ось поверхности вращения перпендикулярна к пл. π 1 то горизонтальная проекция поверхности имеет очерк в виде окружности. Наиболее целесообразным с точки зрения изображений является перпендикулярность оси поверхности вращения к пл. π 1 или к π 2 , или к π 3 .
Некоторые поверхности вращения представляют собой частные случаи поверхностей, рассмотренных в § 50. Таковы: 1) цилиндр вращения, 2) конус вращения, 3) гиперболоид вращения однополостный, 4) эллипсоид вращения, 5) параболоид вращения, 6) гиперболоид вращения двуполостный.
Для цилиндра и конуса вращения меридианы являются прямыми линиями - в первом случае параллельными оси и равноудаленными от нее, во втором случае пересекающими ось в одной и той же ее точке под одним и тем же углом к оси. Так как цилиндр и конус вращения - поверхности, бесконечно простирающиеся в направлении их образующих, то на изображениях обычно их ограничивают какими-либо линиями, например следами этих поверхностей на плоскостях проекций или какой-либо из параллелей. Известные из стереометрии прямой круговой цилиндр и прямой круговой конус ограничены поверхностью вращения и плоскостями, перпендикулярными к ее оси. Меридианы такого цилиндра - прямоугольники, а конуса - треугольники.
Для гиперболоида вращения меридианом является гипербола, причем, если осью вращения служит действительная ось гиперболы, то образуется двуполостный гиперболоид вращения; если же вращать гиперболу вокруг ее мнимой оси, то однополостный .
Однополостный гиперболоид вращения может быть образован также вращением прямой линии в случае, если образующая и ось вращения - скрещивающиеся прямые.
На рис. 331 показан однополостный гиперболоид вращения, образованный вращением прямой АВ вокруг указанной оси и ограниченный двумя параллелями; окружность, проведенная из центра 0 1 есть горло поверхности.
На однополостном гиперболоиде вращения можно нанести прямолинейные образующие в двух направлениях, например так, как показано на рис. 331, и с наклоном в обратную сторону, под тем же углом к оси.
Кроме прямых (пар) на этой поверхности могут быть еще гиперболы, параболы, эллипсы и окружности.
1) Точнее, экватором называют ту из параллелей, которая больше соседних с нею параллелей по обе стороны от нее, рассматриваемых до первого горла; горло - наименьшая из соседних параллелей до первого экватора. Отсюда поверхность вращения может иметь несколько экваторов и горл.
На рис. 331 справа показано построение фронтальной проекции однополостного гиперболоида вращения по его оси и образующей. Прежде всего найден радиус горла поверхности. Для этого проведен перпендикуляр О" 1 1" к горизонтальной проекции образующей. Этим определена горизонтальная проекция общего перпендикуляра к оси и образующей. Натуральная величина отрезка, выраженного проекциями O" 1 1" и О" 1 1", равна радиусу горла поверхности. Далее, путем поворота точки c проекциями 2",2";3",3";A",A" выведены в плоскость α,параллельную пл. π 2 , что
дает возможность провести очерковую линию фронтальной проекции гиперболоида. Горизонтальная его проекция представит собой три концентрические окружности.
Для параболоида вращения меридианом является парабола , ось которой служит осью поверхности.
Для эллипсоида вращения меридианом является эллипс . Поверхность может быть образована вращением эллипса вокруг его большой оси («вытянутый» эллипсоид вращения - рис. 332, слева) или вокруг его малой оси («сжатый» эллипсоид вращения - рис, 332, справа). Эллипсоид вращения - поверхность ограниченная; она может быть изображена полностью. Также полностью может быть изображена и сфера. Для сферы экватор и меридианы - равные между собой окружности.
Обратим еще раз внимание на то, что такие поверхности вращения, как цилиндр, конус и однополостный гиперболоид, являются линейчатыми, т. е. их можно
образовать вращением прямой линии 1). Но эллипсоид, параболоид и двуполостный гиперболоид образуются при вращении не прямой, а эллипса, параболы и гиперболы, причем ось вращения выбирается так, чтобы образующая кривая располагалась симметрично по отношению к этой оси. То же можно сказать и относительно однополостного гиперболоида вращения, если он образуется в результате вращения гиперболы вокруг ее мнимой оси.
Так как ось вращения выбирается совпадающей с осью симметрии эллипса, параболы, гиперболы, то эллипс и Гипербола образуют по две поверхности, так как у них по две оси симметрии, а парабола - одну поверхность, так как у нее одна ось симметрии, Следовательно, каждая из образуемых поверхностей получается только при вращении одним способом. Между тем сфера, которую можно рассматривать как эллипсоид при равных большой и малой осях образующего эллипса, переходящего при этом в окружность, может быть образована вращением более чем одним
способом: образующая окружность симметрична относительно каждого из ее диаметров.
При вращении окружности (или ее дуги) вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности, но не проходящей через ее центр, получается поверхность с названием тор 2). Так называют и тело, ограниченное тором - поверхностью.
Различают (рис. 333):
1) открытый тор, иначе круговое кольцо,
2) замкнутый,
3) самопересекающийся.
На рис. 333 они изображены в простейшем положении: ось тора перпендикулярна к плоскости проекций, в данном случае к пл. π 1 .
Образующей для открытого и замкнутого торов служит окружность, для самопересекающегося - дуга окружности. В открытый и замкнутый торы могут быть вписаны сферы. Тор можно рассматривать как поверхность, огибающую одинаковые сферы, центры которых находятся на окружности.
Тор имеет две системы круговых сечений: в плоскостях, перпендикулярных к его оси, и в плоскостях, проходящих через ось тора 3).
1) Закономерность в расположении прямолинейных образующих однополостного гиперболоида вращения применена в конструкции, известной под названием «башня Шухова». В. Г. Шухов (1853 - 1939) - один из выдающихся русских инженеров. «Башня Шухова» применяется в устройстве радиомачт, водонапорных башен и др.
2) Фр. tore (от torus (лат.) - выпуклость, узел) - кольцеобразный выступ на колонне.
3) Существует третья система круговых сечений открытого тора, которая в книге не рассматривается.
Поверхность, называемая тором, весьма часто встречается в машиностроении и архитектуре. На рис. 334 слева изображена деталь, поверхность вращения которой содержит самопересекающийся тор и открытый тор, а справа на том же рисунке показана схематически
поверхность перехода от одного цилиндрического свода к другому, имеющая форму замкнутого тора с осью ОО 1
Из поверхностей вращения упомянем еще катеноид 1). Эта поверхность образуется при полном обороте цепной линии 2) вокруг лежащей с ней в одной плоскости горизонтальной оси.
Положение точки на поверхности вращения определяется при помощи окружности, проходящей через эту точку на поверхности вращения.
Но это не исключает возможности применять прямолинейные образующие в случае линейчатых поверхностей вращения, подобно тому, как это показано на рис. 314 для цилиндров и конусов общего вида.
На рис. 330 показано применение параллели для построения проекции точки, принадлежащей данной поверхности вращения. Если дана проекция М", то проводим фронтальную проекцию F"F" 1 параллели, а затем радиусом R = O" 1 F" проводим окружность - горизонтальную проекцию параллели - и на ней находим проекцию М". Если бы была задана проекция М", то следовало бы провести радиусом R = O" 1 F" окружность, по точке F" найти F" и провести F"F" 1 - фронтальную проекцию параллели, на которой должна быть проекция М". На рис, 332 показано построение проекций точки К, принадлежащей эллипсоиду вращения, а на рис. 335 - точки М, принадлежащей поверхности кругового кольца.
На рис. 335 справа показано нахождение проекций точек на сфере. По данной проекции А" точки А построена фронтальная проекция А"; по данной проекции В" найдена горизонтальная проекция В" точки В, удовлетворяющей дополнительному условию, что точка В невидима, если смотреть на пл. π 2 .
Точка С задана на экваторе: ее проекция С" находится на очерке горизонтальной проекции сферы, т. е. на горизонтальной проекции экватора. Точки К и М лежат на главном меридиане; они принадлежат параллелям, на которых находятся точки А и В. Точка D также находится на главном меридиане, причем она невидима, если смотреть на пл. π 1 .
Рассмотрим пример построения проекций точек, принадлежащих поверхности вращения. Пусть требуется привести точку А, вращая ее вокруг данной оси MN, на заданную поверхность вращения (рис. 336, а). Так как в данном случае ось поверхности вращения и ось вращения точки А перпендикулярны к плоскости проекций π 1 , то окружность вращения точки А проецируется на π 1 без искажения, равно как и та параллель поверхности вращения, которая получается при пересечении этой поверхности плоскостью вращения точки А. В этой плоскости расположен и центр вращения точки А - точка О (точка пересечения оси вращения MN с плоскостью вращения α). Остальное ясно из чертежа. В положении А 2 на поверхности точка окажется невидимой на пл. π 2 .
2) Catena (лат.) - цепь.
2) Цепная линия - кривая, форму которой принимает цепь, подвешенная в ее двух точках, или вообще тяжелая нерастяжимая нить, подвешенная за ее концы.
Положим, что будет поставлен вопрос о выборе оси вращения для того, чтобы далее точка А могла оказаться на заданной поверхности вращения, На с. 100 был рассмотрен аналогичный вопрос, но там требовалось выбрать ось, чтобы поворотом вокруг нее можно было ввести точку в плоскость, Тогда было установлено, что имеется зона, в которой нельзя брать оси, так как при повороте вокруг таких осей точка не соприкоснется с плоскостью. Эта зона определялась параболическим цилиндром, причем парабола возникла при рассмотрении взаимного положения вращаемой точки и прямой, на которой эта точка должна была бы оказаться, соприкоснувшись с плоскостью.
Теперь, очевидно, вопрос будет, решаться при рассмотрении взаимного положения точки А и окружности (параллели) на поверхности тела вращения,
Из рис. 336, а следует, что проекция О" центра вращения должна быть расположена так, чтобы R A не был меньше расстояния точки О" до ближайшей точки на проекции окружности радиуса r, Если же взять точку О" на равных расстояниях от А" и от проекции этой окружно
сти (например, в О" 1 или O" 2 ; см. рис, 336,6), то в ней уже можно установить ось вращения; окружность вращения точки А коснется окружности радиуса r, т, е, точка А соприкоснется с поверхностью вращения.
Где на чертеже лежат все точки, одинаково удаленные от точки А" и от окружности радиуса r? Они расположены на гиперболе (рис, 336,6), для которой точка А" служит одним из фокусов, точка О" 1 , в которой отрезок А"1" делится пополам, - одной из вершин. Если разделить отрезок А"З" пополам, то мы получим вторую вершину гиперболы (точка О" 3); второй фокус расположится в точке С", т. е. в центре окружности, полученной при пересечении поверхности тела вращения плоскостью α (рис. 336, а).
Из рассмотренного вытекает, что точки, расположенные на обеих ветвях гиперболы или между ними, могут быть выбраны каждая в качестве горизонтальной проекции оси вращения.
Может быть случай, когда точка находится внутри поверхности вращения. Следовательно, проводя через точку плоскость вращения, мы получим проекцию А" внутри проекции окружности радиуса r, по которой плоскость вращения точки А пересекает поверхность вращения (рис, 336, в). И на этот раз очевидно, что R A не должен быть меньше расстояния точки О" (т, е, проекции оси) до ближайшей точки проекции окружности радиуса r. Предельные положения проекций осей расположатся теперь как точки эллипса с фокусами в точках А" и С", с большой осью на прямой 1"З", с вершинами в точках O" 3 и O" 3 . Внутри этого эллипса не следует брать проекции осей; такие оси не дадут возможности ввести точку А в поверхность вращения,
Итак, вопрос, как выбрать ось вращения, чтобы, вращая вокруг нее точку, ввести эту точку в плоскость или в поверхность вращения, ось которой параллельна оси вращения, привел нас к эллипсу (рис. 336, в), -параболе (рис, 244), гиперболе (рис. 336,6) как геометрическим местам центров вращения.
При решении различных задач применяются те или иные поверхности в качестве геометрических мест точек или линий, отвечающих определенным условиям. Например, заданы пл. α и точка К вне этой плоскости; определить, как расположатся в пл. α точки, отстоящие от точки К на заданное расстояние r (расстояние r больше, чем расстояние точки К до пл. α). В данном случае решение связано с применением сферы как геометрического места точек, отстоящих от точки К на расстояние r, Плоскость α пересечет эту сферу по окружности, которая,и даст решение задачи.
Если бы требовалось построить в пл. α точки, отстоящие на расстояние r не от точки, а от некоторой прямой АВ, не лежащей в пл. α, то геометрическим местом таких точек в пространстве оказалась бы поверхность цилиндра вращения с осью АВ и радиусом r, а искомые в пл. α точки получились бы на линии пересечения этого цилиндра пл. α.
В дальнейшем на рис. 368 справа и 401 можно видеть примеры применения конических поверхностей вращения как геометрических мест прямых, проходящих через заданную точку.
Если в задаче поставлен вопрос о точках, равноотстоящих от заданных плоскости α и точки М, то в качестве геометрического места таких точек в пространстве следовало бы использовать параболоид вращения с фокусом параболы в точке М.
Применение тех или иных поверхностей в качестве геометрических мест, конечно, не исчерпывается приведенными примерами.
Вопросы к § 51
- Что называется поверхностью вращения?
- Чем можно задать поверхность вращения?
- Что называется параллелями и меридианами на поверхностях вращения, экватором, горлом, главным меридианом?
- Какая из осей гиперболы служит осью вращения для образования: а) однополостного, б) двуполостного гиперболоида вращения?
- Можно ли образовать однополостный гиперболоид вращения при помощи прямой линии?
- Какие поверхности вращения (кроме однополостного гиперболоида) являются линейчатыми?
- Как образуется поверхность, называемая тором?
- В каком случае для тора применяется название «круговое кольцо»?
- Сколько систем круговых сечений имеет тор?
- Как определяется положение точки на поверхности вращения?
1) Предлагаем читателю составить чертеж и выполнить решение этой и последующих задач.
Поверхности вращения и ограничиваемые ими тела имеют широкое применение во многих областях техники: баллон электронно-лучевой трубки (рис. 8.11, а), центр токарного станка (рис. 8.11, б), объемный сверхвысокочастотный резонатор электромагнитных колебаний (рис. 8.11, в), сосуд Дьюара для хранения жидкого воздуха (рис. 8.11, г), коллектор электронов мощного электронно-лучевого прибора (рис. 8.11, д) и т.д.
В зависимости от вида образующей поверхности вращения могут быть линейчатыми, нелинейчатыми или состоять из частей таких поверхностей.
Поверхностью вращения называют поверхность, получающуюся от вращения некоторой образующей линии вокруг неподвижной прямой- оси поверхности.
На чертежах ось изображают штрихпунктирной линией. Образующая линия может в общем случае иметь как криволинейные, так и прямолинейные участки. Поверхность вращения на чертеже можно задать образующей и положением оси. На рисунке 8.12 изображена поверхность вращения, которая образована вращением образующей AьCD (ее фронтальная проекция a"b"c"d") вокруг оси OO 1 (фронтальная проекция о"o 1 " , перпендикулярной плоскости Н. При вращении каждая точка образующей описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна оси. Соответственно линия пересечения поверхности вращения любой плоскостью, перпендикулярной оси, является окружностью. Такие окружности называют параллелями. На виде сверху (рис. 8.12) показаны проекции окружностей, описываемых точками А, В, С и D, проходящие через проекции а, b, с, d. Наибольшую параллель из двух соседних с нею параллелей по обе стороны от нее называют экватором, аналогично наименьшую - горлом.
Плоскость, проходящую через ось поверхности вращения, называют меридиональной, линию ее пересечения с поверхностью вращения - меридианом. Если ось поверхности параллельна плоскости проекций, то меридиан, лежащий в плоскости, параллельной этой плоскости проекций, называют главным меридианом. На эту плоскость проекций главный меридиан проецируется без искажений. Так, если ось поверхности вращения параллельна плоскости V, то главный меридиан проецируется на плоскость V без искажений, например проекция a"f"b"c"d". Если ось поверхности вращения перпендикулярна к плоскости Н, то горизонтальная проекция поверхности имеет очерк в виде окружности.
Наиболее удобными для выполнения изображений поверхностей вращения являются случаи, когда их оси перпендикулярны к плоскости Н, к плоскости V или к плоскости W.
Некоторые поверхности вращения являются частными случаями поверхностей, рассмотренных в 8.1, например цилиндр вращения, конус вращения. Для цилиндра и конуса вращения меридианами являются прямые линии. Они параллельны оси и равноудалены от нее для цилиндра или пересекают ось в одной и той же ее точке под одним и тем же углом к оси для конуса. Цилиндр и конус вращения - поверхности, бесконечные в направлении их образующих; поэтому на изображениях их ограничивают какими-либо линиями, например линиями пересечения этих поверхностей с плоскостями проекций или какими-либо из параллелей. Из стереометрии известно, что прямой круговой цилиндр и прямой круговой конус ограничены поверхностью вращения и плоскостями, перпендикулярными к оси поверхности. Меридиан такого цилиндра - прямоугольник, конуса - треугольник.
Такая поверхность вращения, как сфера, является ограниченной и может быть изображена на чертеже полностью. Экватор и меридианы сферы - равные между собой окружности. При ортогональном проецировании на все три плоскости проекций очертания сферы проецируются в окружность.
Тор. При вращении окружности (или ее дуги) вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности, но не проходящей через ее центр, получается поверхность с названием тор. На рисунке 8.13 приведены: открытый тор, или круговое кольцо, - рисунок 8.13, а, закрытый тор - рисунок 8.13, б, самопересекающийся тор - рисунок 8.13, в, г. Тор (рис. 8.13, г) называют также лимоновидным. На рисунке 8.13 они изображены в положении, когда ось тора перпендикулярна к плоскости проекций Н. В открытый и закрытый торы могут быть вписаны сферы. Тор можно рассматривать как поверхность, огибающую одинаковые сферы, центры которых находятся на окружности.
В построениях на чертежах широко используют две системы круговых сечений тора: в плоскостях, перпендикулярных к его оси, и в плоскостях, проходящих через ось тора. При этом в плоско-
стях, перпендикулярных к оси тора, в свою очередь имеются два семейства окружностей - линий пересечения плоскостей с наружной поверхностью тора и линий пересечения плоскостей с внутренней поверхностью тора. У лимоновидного тора (рис. 8.13, г) имеется только первое семейство окружностей.
Кроме того, тор имеет еще и третью систему круговых сечений, которые лежат в плоскостях, проходящих через центр тора и касательных к его внутренней поверхности. На рисунке 8.14 показаны круговые сечения с центрами о 1р и о 2р на дополнительной плоскости проекций Р, образованные фронтально-проецирующей плоскостью Q (Q v), проходящей через центр тора с проекциями о" о и касательной к внутренней поверхности тора в точках с проекциями 1" , 1, 2" 2. Проекции точек 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10 облегчают чтение чертежа. Диаметр d этих круговых сечений равен длине больших осей эллипсов, в которые проецируются круговые сечения на горизонтальной плоскости проекций: d = 2R.
Точки на поверхности вращения. Положение точки на поверхности вращения определяют по принадлежности точки линии каркаса поверхности, т. е. с помощью окружности, проходящей через эту точку на поверхности вращения. В случае линейчатых поверхностей для этой цели возможно применение и прямолинейных образующих.
Применение параллели и прямолинейной образующей для построения проекций точек, принадлежащих данной поверхности вращения, показано на рисунке 8.12. Если
дана проекция т", то проводят фронтальную проекцию f"f1" параллели, а затем радиусом R проводят окружность - горизонтальную проекцию параллели - и на ней находят проекцию т. Если бы была задана горизонтальная проекция т, то следовало бы провести радиусом R=om окружность, по точке f построить f" и провести f"f1" - фронтальную проекцию параллели - и на ней в проекционной связи отметить точку т". Если дана проекция п" на линейчатом (коническом) участке поверхности вращения, то проводят фронтальную проекцию d"s" очерковой образующей и через проекцию n" - фронтальную проекцию s"к" образующей на поверхности конуса. Затем на горизонтальной проекции sk этой образующей строят проекцию n. Если бы была задана горизонтальная проекция n, то следовало бы провести через нее горизонтальную проекцию sk образующей, по проекции к" и s" (построение ее было рассмотрено выше) построить фронтальную проекцию s "к" и на ней в проекционной связи отметить проекцию n"
На рисунке 8.15 показано построение проекций точки К, принадлежащей поверхности тора. Следует отметить, что построение выполнено для видимых горизонтальной проекции к и фронтальной проекции к".
На рисунке 8.16 показано построение по заданной фронтальной проекции т" точки на поверхности сферы ее горизонтальной т и профильной т" проекций. Проекция т построена с помощью окружности - параллели, проходящей через проекцию т". Ее радиус - о-1. Проекция т "" построена с помощью окружности, плоскость которой параллельна профильной плоскости проекций, проходящей через проекцию т". Ее радиус о "2".
Построение проекций линий на поверхности вращения может быть выполнено также при помощи окружностей - параллелей, проходящих через точки, принадлежащие этой линии.
На рисунке 8.17 показано построение горизонтальной проекции aь линии, заданной фронтальной проекцией a"b" на поверхности вращения, состоящей из частей поверхностей сферы, тора, конической. Для более точного вычерчивания горизонтальной проекции линии продолжим ее фронтальную проекцию вверх и вниз и отметим проекции 6" и 5" крайних точек. Горизонтальные проекции 6, 1, 3, 4, 5 построены с помощью линий связи. Проекции b , 2, 7, 8, а построены с помощью параллелей, фронтальные проекции которых проходят через проекции b " 2", 7", 8", а" этих точек. Количество и расположение промежуточных точек выбирают исходя из формы линии и требуемой точности построения. Горизонтальная проекция линии состоит из участков: b -1 - части эллипса,
Конус вращения представляет собой частный случай, когда его ось вращения / _L Определитель конуса вращения выражается формулой Ф (/", /), где / - прямолинейная образующая (рис. 152).
Построение точки на поверхности конуса является, как известно, простейшей задачей. Для построения недостающей проекции точки нужно провести линию на поверхности через эту точку. Для поверхностей вращения эти линии являются прямолинейными (для конуса - /) или криволинейными меридианами и круговыми параллелями р. Непрерывное множество меридианов образует непрерывный каркас прямолинейных образующих поверхности конуса. Проекции точек, принадлежащих поверхности конуса, удобно строить с помощью параллелей и меридианов. Если точки Nn М принадлежат образующей конуса SM, совпадающей на фронтальной плоскости проекций П 2 с проекцией оси / 2 , то на горизонтальной плоскости проекций n t следует их строить с помощью параллелир (рис. 152, а). Точно так же для повышения точности графического построения можно построить с помощью параллели р точку А, определенную на эпюре с помощью образующей АВ (рис. 152, б).
Рис. 152
Линии, которые образуются при пересечении поверхности прямого конуса с плоскостью, называются коническими сечениями.
Если плоскость, пересекающая прямой конус вращения, параллельна горизонтальной плоскости проекций П 1? то в сечении конической поверхности будет окружность, т.е. кривая идет по параллели. При пересечении плоскостью, которая не параллельна ни одной из его образующих, в сечении получится эллипс (рис. 153).
Фронтально проецирующая плоскость Е на фронтальной плоскости проекций П 2 рассекает конус по проекции большой оси 1 2 -2 2
Рис. 153
эллипса. Она проецируется без искажений. Точки 1 и 2 являются опорными. Через середину большой оси эллипса проведена вспомогательная секущая плоскость (3 || flj - горизонтальная плоскость уровня, пересекающая конус по параллели р". Эта параллель проецируется на Щ в натуральную величину. Проекционная линия связи в пересечении с проекцией параллели р" отметит на П j малую ось эллипса 3J-4J. На П! она проецируется в натуральную величину. Для построения промежуточных точек 5 и 6 кривой сечения вводим дополнительную секущую горизонтальную плоскость уровня у || П,.
Точки 7 и 8 построены как симметричные точкам 5 и 6 относительно малой оси 3-4 эллипса. Натуральная величина кривой сечения эллипса построена при помощи способа замены плоскостей проекций П,/П 2 -> П 2 /П 4 .
Если секущая плоскость - фронтально проецирующая плоскость I ± П 2 - параллельна одной образующей конуса, то в сечении конуса получается парабола (рис. 154).
Опорные точки 1 - вершина парабола, точки 2 и 3 - следы параболы на плоскости у основания конуса. На рис. 154 показана вспомогательная секущая плоскость уровня (3, с помощью которой построены промежуточные точки 4 и 5 аналогично алгоритму построения эллиптического сечения. Натуральная величина параболы построена с помощью способа замены плоскостей проекций.
Рис. 154 146
Гиперболическое сечение конуса получается, если секущая плоскость Е _L П 2 параллельна двум образующим конуса. При прохождении такой плоскости через вершину конуса точку S гипербола вырождается в две прямые (образующие конуса). Секущая плоскость Е параллельна двум образующим конуса SA и SB и пересекает конус по гиперболе (рис. 155).
Рис. 155
Секущая плоскость? пересекает коническую поверхность таким образом, что в сечении получаются две ветви гиперболы, имеющие одну действительную ось i и другую мнимую, перпендикулярную к i ось у. В точке О гипербола имеет две взаимно перпендикулярные асимптоты, которые касаются ветвей гиперболы в двух бесконечно удаленных точках и принадлежат плоскости гиперболы. Асимптоты гиперболы параллельны образующим SA и SB конуса. Проводим горизонтальную плоскость уровня Р || П] и строим точки 5 и 6. Далее строим точки 7 и 8 как симметричные точкам 5 и 6 относительно мнимой оси гиперболы j. Натуральную величину ветвей гиперболы строят с помощью замены плоскостей проекций.
Если перемещение образующей линии представляет собой вращение вокруг некоторой неподвижной прямой (оси), то образованная в этом случае поверхность называется поверхностью вращения .
Образующая линия может быть плоской или пространственной кривой, а также прямой. Каждая точка образующей линии при вращении вокруг оси описывает окружность, которая располагается в плоскости перпендикулярной оси вращения (рис. 42).
Эти окружности называются параллелями . Следовательно, плоскости, перпендикулярные оси, пересекают поверхность вращения по параллелям . Линия пересечения поверхности вращения плоскостью Σ , проходящей через ось, называется меридианом .
Меридиан, который является результатом пересечения поверхности вращения с плоскостью уровня, называетсяглавным . Проекция главного меридиана на плоскость, которой параллельна плоскость уровня, является очерковой линией соответствующей проекции поверхности вращения.
М
Рис.
42 Элементы поверхности вращения
При проектировании различных инженерных сооружений, машин и механизмов наибольшее распространение получили поверхности, образующиеся вращением прямой линии и кривых второго порядка.
Вращением прямой линии образуются:
– цилиндр вращения , если прямая l параллельна оси i (рис. 43 а );
– конус вращения , если прямая l пересекает ось i (рис. 43 б );
– однополостный гиперболоид , если прямая l скрещивается с осью i (рис. 43 в ).
|
|
||
|
Рис. 43 Линейчатые поверхности вращения |
||
К поверхностям вращения, образованным вращением кривых второго порядка вокруг оси относятся:
– сфера образуется вращением окружности вокруг ее диаметра (рис. 44 а );
– эллипсоид вращения образуется вращением эллипса вокруг большой или малой оси (44 б , в );
– тор образуется вращением окружности вокруг внешней оси (рис. 44 г );
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 44 Поверхности вращения второго порядка |
||
–параболоид вращения образуется вращением параболы вокруг ее оси (рис. 44 д );
– однополостный гиперболоид вращения образуется вращением гиперболы вокруг ее мнимой оси. Эта поверхность образуется также вращением прямой (рис. 44 е ).
Каналовые и циклические поверхности
Каналовой называют поверхность, образованную непрерывным каркасом замкнутых плоских сечений, определенным образом ориентированных в пространстве. Площади этих сечений могут оставаться постоянными или монотонно изменяться в процессе перехода от одного сечения к другому. На рис. 45 приведены два изображения каналовой поверхности. В инженерной практике наибольшее распространение получили два способа ориентирования плоскостей образующих:
– параллельно какой-либо плоскости – каналовые поверхности с плоскостью параллелизма ;
– перпендикулярно к направляющей линии – прямые каналовые поверхности .
Каналовая поверхность может быть использована для создания переходных участков между двумя поверхностями типа трубопроводов, имеющих:
– различную форму, но одинаковую площадь нормального сечения;
– одинаковую форму, но различные площади сечения;
– различную форму и различные площади поперечных сечений.
Циклическую поверхность можно рассматривать как частный случай каналовой поверхности. Она образуется с помощью окружности, центр которой перемещается по криволинейной направляющей. В процессе движения радиус окружности монотонно меняется. Пример циклической поверхности показан на рис. 46.
Трубчатая поверхность относится к группе нелинейчатых поверхностей с образующей постоянного вида и является частным случаем циклической и каналовой поверхностей. Она обладает свойствами, присущими этим видам поверхностей. У циклической поверхности она позаимствовала форму образующей, а у каналовой – закон движения этой образующей. На рис. 47 приведен пример трубчатой поверхности.